与名师对话届高三数学文一轮复习课时跟踪训练第四章 三角函数 解三角形 课时跟踪训练23Word格式文档下载.docx
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,∴A=90°
或30°
,故选C.
[答案] C
2.(2016·
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=( )
A.B.
C.2D.3
[解析] 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得5=b2+4-b,即3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去).故选D.
[答案] D
3.(2017·
合肥模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是( )
A.3B.
C.D.3
[解析] c2=(a-b)2+6,
即c2=a2+b2-2ab+6.①
∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-ab,②
由①和②得ab=6,∴S△ABC=absinC=×
6×
=,故选C.
4.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°
,AB=2BC=2CD,则cos∠DAC=( )
C.D.
[解析] 如图所示,设CD=a,则易知AC=a,AD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×
AC×
cos∠DAC,∴a2=(a)2+(a)2-2×
a×
cos∠DAC,∴cos∠DAC=.
[答案] B
5.(2017·
山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( )
A.a=2bB.b=2a
C.A=2BD.B=2A
[解析] 由题意可知sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),即2sinBcosC=sinAcosC,又cosC≠0,故2sinB=sinA,由正弦定理可知a=2b.
[答案] A
6.(2017·
甘肃省张掖市高三一诊)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=asinC,则sinB为( )
[解析] 由bsinB-asinA=asinC,且c=2a,得b=a,∵cosB===,∴sinB==.故选A.
二、填空题
7.在△ABC中,已知sin(B+A)+sin(B-A)=2sinAcosA,则△ABC的形状为________.
[解析] 由已知得sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=2sinAcosA,即sinBcosA=sinAcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,若cosA=0,则A=,△ABC为直角三角形.
若sinB-sinA=0,则A=B或A+B=π(舍去).
△ABC为等腰三角形,故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
[答案] 直角三角形或等腰三角形
8.(2016·
全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
[解析] 在△ABC中,∵cosA=,cosC=,∴sinA=,sinC=,∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=×
+×
=.由正弦定理=,可得b==1×
×
=.
[答案]
9.(2017·
全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=________.
[解析] 解法一:
依题意得2b×
=a×
+c×
,即a2+c2-b2=ac,所以2accosB=ac>
0,cosB=.又0<
B<
π,所以B=.
解法二:
依题意得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB>
0,因此cosB=,又0<
三、解答题
10.(2017·
北京人大附中期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B+cosB=0.
(1)求角B的值;
(2)若b=,a+c=5,求△ABC的面积.
[解]
(1)在△ABC中,由已知cos2B+cosB=0得
2cos2B+cosB-1=0,
解得cosB=,或cosB=-1(舍去).
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·
cosB.
将B=,b=代入上式,整理得(a+c)2-3ac=7.
因为a+c=5,所以ac=6.
所以△ABC的面积S=ac·
sinB=.
[能力提升]
11.(2017·
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA·
(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )
[解析] 因为sinB+sinA(sinC-cosC)=0,所以sin(A+C)+sinA·
sinC-sinA·
cosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC≠0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,所以A∈(0,π),所以A=,由正弦定理得sinC===,又0<
C<
,所以C=.故选B.
12.(2017·
安徽省合肥市高三一检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆面积为( )
A.4πB.8π
C.9πD.36π
[解析] 因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以c=bcosA+acosB=2,由cosC=得sinC=,再由正弦定理可得2R==6,即R=3.所以△ABC的外接圆面积为πR2=9π,故选C.
13.(2017·
广东省惠州市三调)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,则△ABC的面积为________.
[解析] 由正弦定理=得sinB==,又c>
b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以S=bcsinA=×
2×
2sin=×
=+1.
[答案] +1
14.(2017·
河北石家庄模拟)已知在△ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD上一点,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA=________.
[解析] 设∠DMB=θ,则∠ADC=2θ,∠DAC=-2θ,∠AMB=π-θ,∠ABM=-2θ.
在△CDA中,利用正弦定理得=;
在△AMB中,利用正弦定理得=,
又在Rt△ABC中,cosθ=,
∴===,又CD=1,从而MA=2.
[答案] 2
15.(2017·
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
[解]
(1)由题设得acsinB=,即csinB=.
由正弦定理得sinCsinB=.
故sinBsinC=.
(2)由题设及
(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.
所以B+C=,故A=.
由题设得bcsinA=,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.
故△ABC的周长为3+.
16.(2017·
四川省成都市高三二检)如图,在平面四边形ABCD中,已知A=,B=,AB=6.在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,CE=.
(1)求sin∠BCE的值;
(2)求CD的长.
[解]
(1)在△BEC中,由正弦定理,知=.
∵B=,BE=1,CE=,
∴sin∠BCE===.
(2)∵∠CED=B=,∴∠DEA=∠BCE,∴cos∠DEA====.
∵A=,∴△AED为直角三角形,又AE=5,
∴DE===2.
在△CED中,CD2=CE2+DE2-2CE·
DE·
cos∠CED=7+28-2×
=49.
∴CD=7.
[延伸拓展]
(2017·
广东汕头一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足b=c,=,若点O是△ABC外一点,∠AOB=θ(0<
θ<
π),OA=2,OB=1,则四边形OACB面积的最大值是( )
A. B. C.3 D.
[解析] 由=及正弦定理可得sinB·
cosA=sinA-sinAcosB,∴sin(A+B)=sinA,∴sinC=sinA,又A,C∈(0,π),∴C=A,∴c=a,又b=c,∴△ABC是等边三角形,设该三角形的边长为x,则x2=12+22-2×
1×
cosθ=5-4cosθ,则S四边形OACB=×
2sinθ+x2=sinθ+(5-4cosθ)=2sin+,又θ∈(0,π),∴当θ=时,S四边形OACB取得最大值.故选B.
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