高数期中试题及解答Word文档格式.docx
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均说明理由。
4.(6分)设,其中为可微函数,且,试证明:
。
5.(6分)设方程确定可微函数,求。
6.(9分)设函数满足且,,求,,。
7.(8分)已知点与,在平面上求一点M,使得最小。
8.(6分)设是矩形域:
,,计算二重积分。
9.(6分)计算积分,其中是由平面与三个坐标面所围成的空间区域。
10.(6分)设空间区域,,求。
11.(6分)计算,其中是由曲线在第一象限中所围成的区域。
12.(6分)设为连续函数,且,证明:
13.(8分)求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程,并求该曲面与所包围的立体的体积。
14.(6分)设一球面的方程为,从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线,垂足为点P,当点Q在球面上变动时,点P的轨迹形成一封闭曲面S,求此封闭曲面S所围成的立体的体积。
15.(3分)设在上有连续的二阶导数,,,且二元函数满足,求在的最大值。
1、解:
过已知点与已知直线垂直的平面方程为:
求出已知直线与该平面的交点为,直线MN即为所求,其方程为:
2、解:
设平面与曲面相切的切点为,则有,消去得所求条件为:
,当分母为零时,分子相应也为零。
3、解:
(1);
。
(2)当时,,
因为,所以
同理
所以两个偏导数均连续.
(3)因为的两个偏导数在点均连续,所以在点可微.
4、解:
则
5、方程两边微分得:
,
整理得:
所以.
6、在两边对求导得:
将条件代入上式得:
在两边对求导得:
联立
(1)
(2)两式并注意到解得:
说明:
此题应该加上条件:
具有连续的二阶偏导数.
7、解:
首先将点的坐标代入计算出结果均小于,所以点位于平面的同侧.过点P且与平面垂直的直线方程为
该直线与已知平面的交点为,由中点公式可求出点关于已知平面的对称点为,于是,从而过点和点的直线方程为,此直线与平面的交点为,点M即为所求.
8、作直线将积分区域分成两部分,其中
原式=
(用到轮换对称性)
9、解:
10、解:
注意积分区域关于平面对称,关于为奇函数,故
11、解:
令,,则曲线方程为:
,的范围为,于是
12、证明:
右边
令,即,则,记
右边(轮换对称性)
左边.
13、设点为旋转曲面上任意一点,它由直线上的点
绕轴旋转得到,则有,
消去得旋转曲面的方程为:
(用切片法计算所求体积:
)
14、设点为曲面上任一点,点为球面上任一点,则有:
球面在点的法向量为点切在切平面上,即:
由垂直于切平面有:
联立
(1)
(2)(3)消去得曲面方程为:
该曲面的球面方程为,从而体积为:
.
15、解:
,
同理可得:
代入条件整理得:
记,上式写为:
这是一个以为自变量,为未知函数的欧拉方程.
令,则,,
代入欧拉方程得:
这是一个以为自变量,为未知函数的二阶常系数线性齐次微分.其特征方程为:
,特征根为,从而
(2)的通解为,变量代会得到
(1)的通解为:
,代入初始条件得:
,,故
(1)的特解为
下面求函数在区间上的最大值.
,令得驻点为
,,所以为函数在区间上的极大值点,唯一的极大值点也是最大值点,所以所求最大值为:
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