高三摸底考试数学理试题Word文件下载.docx
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8.已知实数满足约束条件,则的最小值是()
A.B.2C.D.1
9.若函数y=(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数y=的图像大致
是
10.已知双曲线与抛物线相交于两点,公共弦恰过它们的公共焦点,则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是()
A.B.C.D.
11.已知满足,,,则()A.B.C.D.
12.已知是定义在上的单调函数,且对任意的,都有,则方程的解所在的区间是()
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.)
13.已知的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为.
14.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是.
15.已知两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队,不排两端,3个大人有且只有两个相邻,则不同的排法种数有.
16.在正方体中,是棱的中点,是侧面内的动点,且平面
,则与平面所成角的正切值的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设是递增的等差数列,为其前项和,且满足,是的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的通项公式.
18.雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机采访了50人,将凋查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
赞成人数
4
6
12
7
3
(1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访3人,求至少有1人持赞同态度的概率;
(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
19.如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°
,BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,FD⊥底面ABCD,M是AB的中点.
(1)求证:
平面CFM⊥平面BDF;
(2)若EC=2,FD=3,求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值.
20.已知椭圆C:
的右焦点为F,上顶点为A,短轴长为2,O为原点,直线AF与椭圆C的另一个交点为B,且△AOF的面积是△BOF的面积的3倍.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,直线:
y=kx+m与椭圆C相交于P,Q两点,若在椭圆C上存在点R,使OPRQ为平行四边形,求m的取值范围.
21.已知函数
(1)若函数在区间(1,3)上单调,求的取值范围;
(2)若函数在上无零点,求的最小值.
选修4-1:
几何证明选讲
22.选修4﹣1:
如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B、C两点,D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA=,∠APB=30°
.
(Ⅰ)求∠AEC的大小;
(Ⅱ)求AE的长.
选修4-4:
坐标系与参数方程
23.选修4﹣4:
在平面直角坐标系中,动点A的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2),其中α∈R.在极坐标系(以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线C的方程为.
(Ⅰ)判断动点A的轨迹的形状;
(Ⅱ)若直线与动点的轨迹有且仅有一个公共点,求实数的值.
选修4-5:
不等式选讲
24.设函数f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式f(x)≤6的解集为M.
(1)求M;
(2)当a,b∈M时,证明:
3|a+b|≤|ab+9|.
牡一中2017摸底考试高三数学理参考答案
选择
1
2
8
9
11
答案
D
B
C
A
填空
13
14
16
40
48
17、【解答】解:
(1);
(2)
18、【解答】解:
(1)随机采访的50人中,赞成人数有:
4+6+12+7+3+3=35人,
∵以赞同人数的频率为概率,∴赞同人数的概率p1==,
∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣(1﹣)3=0.973.
(2)从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,
记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X,
依题意得X=0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)=+=,
P(X=2)==,P(X=3)=•=,
∴X的分布列是:
X
0
1
2
3
P
∴X的数学期望EX=+3×
=.
【解答】证明:
(1)∵FD⊥底面ABCD,∴FD⊥AD,FD⊥BD,
∵AF=BF,∴△ADF≌△BDF,∴AD=BD,
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°
,∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM,
∵DF⊥CM,∴CM⊥平面BDF.
∵CM⊂平面CFM.∴平面CFM⊥平面BDF;
(2)建立以C为坐标原点,CB,CD,CE分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
∵EC=2,FD=3,BC=CD=2,
∴B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2),F(0,2,3),
则=(﹣2,2,0),=(2,0,﹣2),=(0,2,1),
设平面BEF的一个法向量为=(x,y,z),
则得,
令x=1,则y=﹣,z=1,则=(1,﹣,1),
由
(1)知AD=BD,∠ABD=45°
,则,∠ADB=90°
,即AD⊥BD,
∵DF⊥BD,∴BD⊥平面ADF,
则=(﹣2,2,0)是平面ADF的一个法向量,
则cos<,>==,则sin<,>=,
即平面ADF与平面BEF所成角的正弦值是.
20【解答】解:
(1)短轴长为2,可得b=1,
即有A(0,1),设F(c,0),B(x0,y0),
△AOF的面积是△BOF的面积的3倍,
即为c•1=3•c•|y0|,
可得y0=﹣,由直线AF:
y=﹣+1经过B,
可得x0=c,即B(c,﹣),代入椭圆方程可得,
+=1,即为a2=2c2,即有a2=2b2=2,
则椭圆方程为+y2=1;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由OPRQ为平行四边形,可得x1+x2=xR,y1+y2=yR,
R在椭圆C上,可得+(y1+y2)2=1,
即为+(k(x1+x2)+2m)2=1,
化为(1+2k2)((x1+x2)2+8km(x1+x2)+8m2=2,①
由可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
由△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0,即为1+2k2>m2,②
x1+x2=﹣,代入①可得﹣+8m2=2,
化为1+2k2=4m2,代入②可得m≠0,
又4m2=1+2k2≥1,解得m≥或m≤﹣.
则m的取值范围是(﹣∞,﹣]∪[,+∞).
21 【解答】解:
(1)f′(x)=3﹣a﹣=,
当a≥3时,有f′(x)<0,即函数f(x)在区间(1,3)上单调递减;
当a<3时,令f′(x)=0,得x=,若函数y=f(x)在区间(1,3)单调,
则≤1或≥3,解得:
a≤1或≤a<3,
综上,a的范围是(﹣∞,1]∪[,+∞);
(2)x→0时,g(x)→+∞,
∴g(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx<0在区间(0,)上恒成立不可能,
故要使函数g(x)在(0,)无零点,只需对任意的x∈(0,),g(x)>0恒成立,
即对x∈(0,),a>2﹣恒成立,
令l(x)=2﹣,x∈(0,),
则l′(x)=,
令m(x)=2lnx+﹣2,x∈(0,),
则m′(x)=<0,
故m(x)在(0,)上递减,于是m(x)>m()=2﹣2ln2>0,
从而,l′(x)>0,于是l(x)在(0,)递增,
∴l(x)<l()=2﹣4ln2,
故要使a>2﹣恒成立,只需a∈[2﹣4ln2,+∞),
综上,若函数g(x)=f(x)﹣x在(0,)上无零点,则a的最小值是2﹣4ln2.
22【解答】解:
(Ⅰ)连接AB,因为:
∠APO=30°
,且PA是⊙O的切线,
所以:
∠AOB=60°
;
∵OA=OB,∴∠AB0=60°
∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°
(Ⅱ)由条件知AO=2,过A作AH⊥BC于H,则AH=,
在RT△AHD中,HD=2,∴AD==.
∵BD•DC=AD•DE,∴DE=.
∴AE=DE+AD=.
23【解答】解:
(Ⅰ)设动点A的直角坐标为(x,y),
则,利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得,
(x﹣2)2+(y+2)2=9,点A的轨迹为半径等于3的圆.
(Ⅱ)把直线C方程为ρcos(θ﹣)=a化为直角坐标方程为+=2a,
由题意可得直线C与圆相切,
故有=3,
解得a=3或a=﹣3.
24【解答】解:
(1)不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6,
而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和,
﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6,
故不等式的解集为M=[﹣3,3].
(2)要证3|a+b|≤|ab+9|,
只要证9(a+b)2≤(ab+9)2,
即证:
9(a+b)2﹣(ab+9)2=9(a2+b2+2ab)﹣(a2•b2+18ab+81)=9a2+9b2﹣a2•b2﹣81=(a2﹣9)(9﹣b2)≤0,
而由a,b∈M,可得﹣3≤a≤3,﹣3≤b≤3,
∴(a2﹣9)≤0,(9﹣b2)≥0,∴(a2﹣9)(9﹣b2)≤0成立,
故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立.
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- 摸底 考试 学理 试题