高考数学一轮复习第8章立体几何3第3讲空间点直线平面之间的位置关系教案理文档格式.docx

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设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：

．

（3）等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

（1）空间中直线和平面的位置关系

位置关系

图形表示

符号表示

公共点

直线a在

平面α内

a⊂α

有无数个

直线

在平

面外

直线a与

平面α

平行

a∥α

没有公

共点

斜交

a∩α＝A

有且只

有一个

垂直

a⊥α

（2）空间中两个平面的位置关系

两平面平行

α∥β

没有公共点

两平

面相

交

α∩β＝l

有一条公共

α⊥β且

α∩β＝a

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（　　）

（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（　　）

（3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（　　）

（4）没有公共点的两条直线是异面直线．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）×

（教材习题改编）下列命题正确的是（　　）

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

解析：

选D.A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；

B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；

C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．

（教材习题改编）已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（　　）

A．空间四边形　　　　　　B．矩形

C．菱形D．正方形

选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．

因为E，F分别为AB，BC的中点，

所以EF∥AC.

又FG∥BD，

所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．

而AC与BD所成的角为90°

，

所以∠EFG＝90°

，故四边形EFGH为矩形．

（教材习题改编）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．

连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°

.

60°

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．

由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．

平行　AD

　　　　　　平面的基本性质

[典例引领]

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：

E、C、D1、F四点共面．

【证明】　如图所示，连接CD1、EF、A1B，

因为E、F分别是AB和AA1的中点，

所以EF∥A1B且EF＝A1B.

又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，

所以EF与CD1确定一个平面α，

所以E、F、C、D1∈α，

即E、C、D1、F四点共面．

若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？

证明：

如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，

所以四边形CD1FE是梯形，

所以CE与D1F必相交，设交点为P，

则P∈CE，且P∈D1F，

又CE⊂平面ABCD，

且D1F⊂平面A1ADD1，

所以P∈平面ABCD，

且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，

所以CE、D1F、DA三线交于一点．

共面、共线、共点问题的证明方法

（1）证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

（2）证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．　

（3）证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

[提醒]　点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．

如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

（1）求证：

E，F，G，H四点共面；

（2）设EG与FH交于点P，求证：

P，A，C三点共线．

（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD.

在△BCD中，＝＝，

所以GH∥BD，

所以EF∥GH.

所以E，F，G，H四点共面．

（2）因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，

所以P∈平面ABC.

同理P∈平面ADC.

所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．

又平面ABC∩平面ADC＝AC，

所以P∈AC，

所以P，A，C三点共线．

　　　　　　空间两直线的位置关系

（构造法）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）

①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；

②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；

④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.

A．②　　　　　　　　　　B．②③

C．①③D．②④

【解析】　对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；

对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；

对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；

对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°

，故④错误．因此选A.

【答案】　A

（1）异面直线的判定方法

（2）构造法判断空间两直线的位置关系

对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．　

[通关练习]

1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（　　）

A．m与n异面

B．m与n相交

C．m与n平行

D．m与n异面、相交、平行均有可能

选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；

m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.

2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．

图①中，直线GH∥MN；

图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．

②④

　　　　　　异面直线所成的角（高频考点）

从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：

（1）求异面直线所成的角或其三角函数值；

（2）由异面直线所成角求其他量．

角度一　求异面直线所成的角或其三角函数值

（2017·

高考全国卷Ⅱ）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°

，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　）

A.B.

C.D.

【解析】　如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°

，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°

，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝，选择C.

【答案】　C

角度二　由异面直线所成角求其他量

四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°

，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．

【解析】　如图，取BC的中点O，连接OE，OF，

因为OE∥AC，OF∥BD，

所以OE与OF所成的锐角（或直角）即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°

，所以∠EOF＝60°

或∠EOF＝120°

.当∠EOF＝60°

时，EF＝OE＝OF＝.

当∠EOF＝120°

时，取EF的中点M，则OM⊥EF，

EF＝2EM＝2×

＝.

【答案】　或

1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是（　　）

C.D．2

选B.如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；

EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，

cos∠EFG＝＝＝.

2．（2018·

安徽安庆模拟）正四面体ABCD中，E、F分别为AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为________．

取BF的中点G，连接CG，EG，易知EG∥AF，所以异面直线AF、CE所成的角即为∠GEC（或其补角）．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE＝，EG＝，CG＝，由余弦定理得cos∠GEC＝＝＝，所以异面直线AF、CE所成角的余弦值为.

三个公理的作用

公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．

易错防范

（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解