高考数学一轮复习 第六篇 数列 第2讲 等差数列及其前n项和教案 理 新人教版Word下载.docx
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(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.
(6)若n为偶数,则S偶-S奇=
;
若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an,则Sn=
,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+
d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=
n2+
n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).
7.最值问题
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+…+an,①
Sn=an+an-1+…+a1,②
①+②得:
.
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;
(2)等差中项法:
验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;
(3)通项公式法:
验证an=pn+q;
(4)前n项和公式法:
验证Sn=An2+Bn.
注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( ).
A.4B.5C.6D.7
解析 a2+a8=2a5,∴a5=6.
答案 C
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于
( ).
A.31B.32C.33D.34
解析 由已知可得
解得
∴S8=8a1+
d=32.
答案 B
3.(xx·
江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=( ).
A.1B.9C.10D.55
解析 由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10⇒a10=S10-S9=S1=a1=1.
答案 A
4.(xx·
杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( ).
A.13B.35C.49D.63
解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7=
=49.
5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
解析 设公差为d.
则a5-a2=3d=6,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
答案 13
考向一 等差数列基本量的计算
【例1】►(xx·
福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
[审题视点]第
(1)问,求公差d;
第
(2)问,由
(1)求Sn,列方程可求k.
解
(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.
由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.
解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×
(-2)=3-2n.
(2)由
(1)可知an=3-2n.
所以Sn=
=2n-n2.
进而由Sk=-35可得2k-k2=-35.
即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.
又k∈N*,故k=7为所求.
等差数列的通项公式及前n项和公式中,共涉及五个量,知三可求二,如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题的方法.
【训练1】(xx·
湖北)《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.
解析 设竹子从上到下的容积依次为a1,a2,…,a9,由题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,设等差数列{an}的公差为d,则有4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,由①②可得d=
,a1=
,所以a5=a1+4d=
+4×
=
答案
考向二 等差数列的判定或证明
【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·
Sn-1=0(n≥2),a1=
(1)求证:
是等差数列;
(2)求an的表达式.
[审题视点]
(1)化简所给式子,然后利用定义证明.
(2)根据Sn与an之间关系求an.
(1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又an=-2Sn·
Sn-1,
∴Sn-1-Sn=2Sn·
Sn-1,Sn≠0,∴
-
=2(n≥2).
由等差数列的定义知
是以
=2为首项,以2为公差的等差数列.
(2)解 由
(1)知
+(n-1)d=2+(n-1)×
2=2n,
∴Sn=
.当n≥2时,有an=-2Sn×
Sn-1=-
,
又∵a1=
,不适合上式,∴an=
等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断.
【训练2】已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2=2,S3=6.
(1)求Sn;
(2)证明:
数列{an}是等差数列.
(1)解 设Sn=An2+Bn+C(A≠0),则
解得:
A=2,B=-4,C=0.
∴Sn=2n2-4n.
(2)证明 当n=1时,a1=S1=-2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]
=4n-6.
∴an=4n-6(n∈N*).
当n=1时符合上式,故an=4n-6,
∴an+1-an=4,
∴数列{an}成等差数列.
考向三 等差数列前n项和的最值
【例3】►设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
[审题视点]第
(1)问:
列方程组求a1与d;
第
(2)问:
由
(1)写出前n项和公式,利用函数思想解决.
解
(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得
可解得
数列{an}的通项公式为an=11-2n.
(2)由
(1)知,Sn=na1+
d=10n-n2.
因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.
求等差数列前n项和的最值,常用的方法:
(1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值.
(2)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.
【训练3】在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
解 法一 ∵a1=20,S10=S15,
∴10×
20+
d=15×
d,
∴d=-
∴an=20+(n-1)×
=-
n+
∴a13=0.即当n≤12时,an>0,n≥14时,an<0.
∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=12×
×
=130.
法二 同法一求得d=-
∴Sn=20n+
·
n
2+
∵n∈N*,
∴当n=12或13时,Sn有最大值,
且最大值为S12=S13=130.
法三 同法一得d=-
又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
考向四 等差数列性质的应用
【例4】►设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n.
[审题视点]在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)用此性质可优化解题过程.
解 由题意可知a1+a2+…+a6=36①
an+an-1+an-2+…+an-5=180②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216.
∴a1+an=36.又Sn=
=324,
∴18n=324.
∴n=18.
本题的解题关键是将性质m+n=p+q⇒am+an=ap+aq与前n项和公式Sn=
结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.
【训练4】
(1)设数列{an}的首项a1=-7,且满足an+1=an+2(n∈N+),则a1+a2+…+a17=________.
(2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于________.
解析
(1)∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列.
∴an=-7+(n-1)·
2,∴a17=-7+16×
2=25,
S17=
=153.
(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+78⇒(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54⇒a1+a20=18⇒S20=
20=
20=180.
答案
(1)153
(2)180
阅卷报告6——忽视an与Sn中的条件n≥2而致误
【问题诊断】在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系:
an=\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n=1,,Sn-Sn-1n≥2.))这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.
【防范措施】由an=Sn-Sn-1求出an后,一定不要忘记验证n=1是否适合an.
【示例】►(xx·
安徽改编)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式.
错因 求an、
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