六年级数学思维训练立体几何.docx
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六年级数学思维训练立体几何
2014年六年级数学思维训练:
立体几何
一、兴趣篇
1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和,则长方体与正方体的表面积之比是多少?
长方体体积比正方体体积少多少立方厘米?
2.如图,将长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形,然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米?
如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢?
3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形,这个图形的表面积是多少平方厘米?
4.
(1)如图1,将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体,剩余部分的表面积是多少?
(2)如图2,将一个棱长为5的正方体,从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体,它的表面积减少了百分之几?
5.(2013•北京模拟)如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
6.(2012•北京模拟)
(1)如图,将4块棱长为1的正方体木块排成一排,拼成一个长方体.那么拼合后这个长方体的表面积,比原来4个正方体的表面积之和少了多少?
(2)一个正方体形状的木块,棱长为1,如图所示,将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少?
如果在此基础上再切4刀,将其切成大大小小共18块长方体.这18块长方体表面积总和又是多少?
7.这里有一个圆柱和一个圆锥(如图),它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米.请回答:
圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
8.如图,一块三层蛋糕,由三个高都为1分米,底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成.请问:
(1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米?
(л取3.14)
(2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分,那表面积之和又是多少?
9.有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是6米、3米、2米,三个池子都装了半池水.现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面会升高多少厘米?
(结果精确到小数点后两位)
10.有一个高24厘米,底面半径为10厘米的圆柱形容器,里面装了一半水,现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒.将木棒竖直放入容器中,使棒的底面与容器的底面接触,这时水面升高了多少厘米?
二、拓展篇
11.将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积.
12.(2012•深圳校级模拟)一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米.求原长方体的表面积.
13.如图,有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形.请问:
这个立体图形的表面积等于多少?
14.如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少?
如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体,那么剩下的立体图形的表面积又是多少?
15.一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体(如图),这些小长方体的表面积之和为162平方厘米.请问:
原正方体的体积是多少?
16.如图是一个棱长为4厘米的正方体,分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体,做成一种玩具.该玩具的表面积是多少平方厘米?
如果把这些洞都打穿,表面积又变成了多少?
17.一个无盖木盒从外面量时,其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米,已知木板厚1厘米,那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米?
这个木盒的容积又是多少?
18.有一根长为20厘米,直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个4厘米深,底面直径也为6厘米的圆锥形的孔,做成一个零件(如图).这个零件的体积为多少立方厘米?
(л取3.14)
19.现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块,把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块,这个圆柱体木块的体积为多少?
(л取3)
20.张大爷去年用长2米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤,今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?
21.左边正方形的边长为4,右边正方形对角线长度为6.如果按照图中的方式旋转,那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?
22.如图一个底面长30分米,宽10分米,高12分米的长方体水池,存有四分之三池水,请问:
(1)将一个高11分米,体积330立方分米的圆柱放入池中,水面的高度变为多少分米?
(2)如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米?
(3)如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米?
三、超越篇
23.有一个棱长为20的大立方体,在它的每个角上按如图的方式各做一个小立方体,于是得到8个小立方体.在这些立方体中,上面4个的棱长为12,下面4个的棱长为13.请问:
所有这8个小立方体公共部分的体积是多少?
24.地上有一堆小立方体,从上面看时如图1,从前面看时如图2,从左边看时如图3.这一堆立方体一共有几个?
如果每个小立方体的棱长为1厘米,那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米?
25.
(1)已知一个圆柱的底面直径为6厘米,高为4厘米.求它的体积和表面积;(答案用兀表示)
(2)用一个半径为25厘米,圆心角为345.6°的扇形围成一个圆锥,这个圆锥的体积是多少?
如果圆心角是216°呢?
(答案用丌表示)
26.将图1、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱,这两个立体图形的体积分别是多少?
(图1正中央是一个面积为18平方厘米的正方形,每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形;图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成.)
27.一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米,其内有一些水,正放时水面离容器顶11厘米,倒放时,水面离顶部5厘米.请问:
这个容器的容积是多少立方厘米?
(兀取3.14)
28.有一个长方体水池,底面为边长60厘米的正方形,里面插着一根长1米的木桩,木桩的底面是一个边长15厘米的正方形,木桩有一部分浸在水中,一部分露出水面.现在将木桩提起来24厘米(仍有部分浸在水里),那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米?
29.右图是个有底无盖的容器的平面展开图,其中①是边长为18厘米的正方形,②③④⑤是同样大的等腰直角三角形,⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形.那么,这个容器的容积是 毫升.
30.有一个三棱柱和一个正方体,三棱柱的底面是一个等边三角形,边长恰好等于正方体的面对角线长度,三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度,如果正方体的棱长为6,那么三棱柱的体积为多少?
ﻬ
2014年六年级数学思维训练:
立体几何
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和,则长方体与正方体的表面积之比是多少?
长方体体积比正方体体积少多少立方厘米?
【分析】首先根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4,求出棱长总和,用棱长总和除以12求出正方体的棱长,再根据长方体的表面积公式:
s=(ab+ah+bh)×2,正方体的表面积公式:
s=6a2,长方体的体积公式:
v=abh,正方体的体积公式:
v=a3,把数据分别代入公式解答.
【解答】解:
(3+2+1)×4÷12
=6×4÷12
=24÷12
=2(厘米),
(3×2+3×1+2×1)×2:
(2×2×6)
=11×2:
24
=22:
24
=11:
12;
2×2×2﹣3×2×1
=8﹣6
=2(立方厘米),
答:
长方体与正方体的表面积之比是11:
12,长方体体积比正方体体积少2立方厘米.
2.如图,将长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形,然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米?
如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢?
【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长,宽,高,即长方体的长=原长方形的长﹣2个正方形的边长,长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长,长方体的高=正方形的边长,再根据长方体的容积=长×宽×高,计算出容积.
【解答】解:
长方体的长:
13﹣2﹣2=9(厘米)
长方体的宽:
9﹣2﹣2=5(厘米)
容积为:
9×5×2=90(立方厘米)
答:
这个容器的容积为90立方厘米.
如果四角去掉边长为3厘米的正方形:
长方体的长:
13﹣3﹣3=7(厘米)
长方体的宽:
9﹣3﹣3=3(厘米)
容积为:
7×3×3=63(立方厘米)
答:
这个容器的容积为63立方厘米.
3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形,这个图形的表面积是多少平方厘米?
【分析】可以从上下左右前后观察各有几个正方形的面,然后用一个正方形的面的面积乘它的个数,即是这个图形的表面积,据此解答.
【解答】解:
上、下共:
9+9=18(个),
左、右共:
7+7=14(个),
前、后共:
7+7=14(个),
表面积:
1×1×(18+14+14),
=46(平方厘米);
答:
这个图形的表面积是46平方厘米.
4.(1)如图1,将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体,剩余部分的表面积是多少?
(2)如图2,将一个棱长为5的正方体,从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体,它的表面积减少了百分之几?
【分析】图1由图意可知,减少的面积的和新增的面的面积相等,所以剩余部分的表面积就是原来长方体的表面积.
图2由图意可知,减少的是长是4,宽是3的两个长方形的面积,用减少的面积除以正方体的表面积即可.
【解答】解:
(1)6×6×6=216
答:
剩余部分的表面积是216.
(2)2×4×3÷(5×5×6)
=24÷150
=16%
答:
它的表面积减少了16%.
5.(2013•北京模拟)如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
【分析】立体图形的好处就是可以直观视觉,虽然图形被挖去,但6个面看过去都还是面积不变的,特别是从上往下看是,3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积,这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面;计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积.
【解答】解:
原正方体的表面积是:
2×2×6=24(平方厘米),
增加的面积:
1×1×4+(×)×4+(×)×4,
=4+×4+×4,
=4+1+,
=5(平方厘米),
总表面积为:
24+5=29(平方厘米).
答:
最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米.
6.(2012•北京模拟)
(1)如图,将4块棱长为1的正方体木块排成一排,拼成一个长方体.那么拼合后这个长方体的表面积,比原来4个正方体的表面积之和少了多少?
(2)一个正方体形状的木块,棱长为1,如图所示,将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少?
如果在此基础上再切4刀,将其切成大大小小共18块长方体.这18块长方体表
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