步步高版高考数学江苏文考前三个月配套练习52常考的递推公式问题的破解方略含答案解析Word文档格式.docx
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(2)若S5=,求λ.
(1)证明 由题意,得a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1=,a1≠0.
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1,得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan,由a1≠0,λ≠0得an≠0.
所以=.
因此{an}是首项为,公比为的等比数列,
于是an=n-1.
(2)解 由
(1)得Sn=1-n.
由S5=,得1-5=,即5=.
解得λ=-1.
高考必会题型
题型一 利用累加法解决递推问题
例1
(1)在数列{an}中,a1=1,an-an-1=,则an等于________.
答案 2-
解析 ∵an-an-1=,
∴a2-a1=,
a3-a2=,a4-a3=,…,
an-an-1=(n>
1),
以上各式左右两边分别相加得an-a1=+++…+
=1-+-+…+-=1-,
∴an=a1+1-=2-,
又a1=1适合上式,∴an=2-.
(2)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+cn(n∈N*,常数c≠0),且a1,a2,a3成等比数列.
①求c的值;
②求数列{an}的通项公式.
解 ①由题意知,a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,
∵a1,a2,a3成等比数列,∴(2+c)2=2(2+3c),
解得c=0或c=2,
又c≠0,故c=2.
②当n≥2时,由an+1=an+cn,得a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,
以上各式相加,得an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=c.
又a1=2,c=2,故an=n2-n+2(n≥2),
当n=1时,上式也成立,
∴数列{an}的通项公式为an=n2-n+2(n∈N*).
点评 由已知递推关系式,若能转化为an+1=an+f(n),或-=f(n)且f(n)的和可求,则可采用累加法.
变式训练1 在数列{an}中,a1=1,an+1-an=ln(1+),则an等于________.
答案 1+lnn
解析 ∵a1=1,an+1-an=ln(1+),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+1)+1
=ln(×
×
…×
2)+1
=1+lnn.
题型二 利用累乘法解决递推问题
例2
(1)已知正项数列{an}满足a1=1,(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0,则它的通项公式为________.
(2)已知数列{an}中,a1=1,=n(n∈N*),则a2016=________.
(3)已知a1=1,=,则an=________.
答案
(1)an=
(2)2016 (3)
解析
(1)由(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0,
得[(n+2)an+1-(n+1)an](an+1+an)=0,
又an>
0,所以(n+2)an+1=(n+1)an,
即=,an+1=an,
所以an=·
·
…·
a1=a1(n≥2),
所以an=(n=1适合),
于是所求通项公式为an=.
(2)由=n(n∈N*),得=,
=,=,
=,…,
=,各式相乘得=n,
∴an=n(n=1适合),∴a2016=2016.
(3)∵=,
∴×
=×
=.
即=,
又∵a1=1,∴an=,
而a1=1也适合上式,
∴{an}的通项公式为an=.
点评 若由已知递推关系能转化成=f(n)的形式,且f(n)的前n项积能求,则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式.
变式训练2 数列{an}的前n项和Sn=an(n≥2),且a1=1,a2=2,则{an}的通项公式an=______________.
解析 ∵Sn-1=an-1(n≥3),
∴Sn-Sn-1=an-an-1,
∴an=an-an-1,∴=.
∴当n≥3时,·
=2·
,
∴=n-1,∴an=(n-1)·
a2=2(n-1)(n≥3).
∵a2=2满足an=2(n-1),
∴an=
题型三 构造法求通项公式
例3
(1)已知数列{an},a1=2,an=(n≥2),则an=________.
(2)已知a1=1,an+1=,则an=________.
答案
(1)
(2)
解析
(1)由an=两边取倒数得-=1,
∴数列是首项为=,公差为1的等差数列,
∴=+(n-1)=n-=.
∴an=.
(2)由an+1=,得-=1(常数),
又=1,∴{}是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴=n,从而an=,即所求通项公式为an=.
点评 构造法就是利用数列的递推关系灵活变形,构造出等差、等比的新数列,然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形:
在“an=can-1+b”的条件下,可构造“an+x=c(an-1+x)”在“an=”的条件下,可构造“=+”.
变式训练3 已知数列{an}中,a1=2,当n≥2时,an=,求数列{an}的通项公式.
解 因为当n≥2时,an-1=,
两边取倒数,得=+.
即-=,
故数列是首项为=1,公差为的等差数列.
所以=1+(n-1)=.
所以an=.
又当n=1时,上式也成立,
故数列{an}的通项公式是an=(n∈N*).
高考题型精练
1.数列{an}满足a1=1,a2=,且+=(n≥2),则an等于________.
解析 由题意知{}是等差数列,
又=1,=,
∴公差为d=-=,
∴=+(n-1)×
=,
2.已知数列{an}中,a1=1,且=+3(n∈N*),则a10等于________.
解析 由已知-=3(n∈N*),
所以数列{}是以1为首项,3为公差的等差数列,
即=1+(n-1)×
3=3n-2,
解得an=,a10=.
3.已知数列{an}中,a1=,an+1=an+(n∈N*),则数列{an}的通项为________.
答案 an=
解析 由an+1=an+可得,
an+1-an=
==-,
所以a2-a1=-,a3-a2=-,
a4-a3=-,…,
an-an-1=-,
累加可得an-a1=-,
又a1=,所以an=.
4.已知f(x)=log2+1,an=f()+f()+…+f(),n为正整数,则a2016等于________.
答案 2015
解析 因为f(x)=log2+1,
所以f(x)+f(1-x)=log2+1+log2+1=2.
所以f()+f()=2,
f()+f()=2,…,
f()+f()=2,
由倒序相加,得2an=2(n-1),an=n-1,
所以a2016=2016-1=2015.
5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),则an为________.
答案 +2n-1
解析 ∵an+1=an+n+2n,
∴an+1-an=n+2n.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]
=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)
=1++
=+2n-1.
6.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a7等于________.
答案 55
解析 ∵an-an-1=2n(n≥2),
∴a2-a1=4,
a3-a2=6,
a4-a3=8,
…
a7-a6=14,
以上各式两边分别相加得
a7-a1=4+6+…+14,
a7=1+=55.
7.数列{an}中,a1=1,an=2·
3n-1+an-1(n≥2),则an=________.
答案 3n-2
解析 因为an=2·
3n-1+an-1(n≥2),
所以an-an-1=2·
3n-1(n≥2),
由叠加原理知an-a1=2(3+32+33+…+3n-1)(n≥2),
所以an=a1+2=1+3n-3
=3n-2(n≥2),
因为a1=1也符合上式,
故an=3n-2.
8.若数列{an}满足an=3an-1+2(n≥2,n∈N*),a1=1,则数列{an}的通项公式an=________________.
答案 2×
3n-1-1
解析 设an+λ=3(an-1+λ),化简得an=3an-1+2λ,
∵an=3an-1+2,∴λ=1,
∴an+1=3(an-1+1).
∵a1=1,∴a1+1=2,
∴数列{an+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,
∴an+1=2×
3n-1,∴an=2×
3n-1-1.
9.若数列{an}满足a1=1,且an+1=4an+2n,则通项an=________________.
答案 22n-1-2n-1
解析 ∵an+1=4an+2n,∴=+,
设bn=,则bn+1=2bn+,
∴bn+1+=2(bn+),
即=2,
又b1+=1,
∴{bn+}是首项为1,公比为2的等比数列,
∴bn+=2n-1,即bn=2n-1-,
即=2n-1-,
∴an=2n(2n-1-)=22n-1-2n-1.
10.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.
解析 ∵an+1=,
∴an+1===
==1-
=1-=1-(1-an-2)=an-2,
∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.
∴a8=a3×
2+2=a2=2.
而a2=,∴a1=.
11.数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明 由an+2=2an+1-an+2,
得bn+1-bn=an+2-2an+1+an
=2an+1-an+2-2an+1+an
=2,
又b1
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