初中数学竞赛辅导资料5.doc
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初中数学竞赛辅导资料(5)
an的个位数
内容提要
1.整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2.0,1,5,6,的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5,620的个位数是6。
3.2,3,7的正整数次幂的个位数字的规律见下表:
指 数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
底
数
2
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
……
3
3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
……
7
7
9
3
1
7
9
3
1
7
9
……
其规律是:
2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现,
即24k+1与21,24K+2与22,24K+3与23,24K+4与24的个位数是相同的(K是正整数)。
3和7也有类似的性质。
4.4,8,9的正整数次幂的个位数,可仿照上述方法,也可以用4=22,8=23,9=32转化为以2、3为底的幂。
5.综上所述,整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律:
a4K+m与am的个位数相同(k,m都是正整数。
例题
例1 20032003的个位数是多少?
解:
20032003与32003的个位数是相同的,
∵2003=4×500+3,∴32003与33的个位数是相同的,都是7,∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000+1472002的和能被10整除的理由
解:
∵2000=4×500,2002=4×500+2
∴632000与34的个位数相同都是1,1472002与72的个位数相同都是9,
∴632000+1472002的和个位数是0,∴632000+1472002的和能被10整除。
例3 K取什么正整数值时,3k+2k是5的倍数?
解:
列表观察个位数的规律
K=
1
2
3
4
……
3的个位数
3
9
7
1
……
2的个位数
2
4
8
6
……
3k+2k的个位数
5
5
……
从表中可知,当K=1,3时,3k+2k的个位数是5,
∵am与a4n+m的个位数相同(m,n都是正整数,a是整数), ∴当K为任何奇数时,3k+2k是5的倍数。
练习5
1. 在括号里填写各幂的个位数(K是正整数)
220的个位数是( ) 45的个位数是( )330的个位数是( )87 的个位数是( ) 74K+1 的个位数是()
311+79的个位数是( ) 216×314的个位数是( ) 32k-1+72k-1的个位数是( )
72k-32k的个位数是( ) 74k-1-64k-3的个位数是( ) 7710×3315×2220×5525的个位数是( )
2. 目前知道的最大素数是2216091-1,它的个位数是___。
3. 说明如下两个数都能被10整除的理由。
①5353-3333 ②19871989-19931991
4. 正整数m取什么值时,3m+1是10的倍数?
5. 设n是正整数,试说明2n+7n+2能被5整除的理由。
6. 若a4的个位数是5,那么整数a的个位数是___
若a4的个位数是1,那么整数a的个位数是___
若a4的个位数是6,那么整数a的个位数是___
若a2k-1的个位数是7,那么整数a的个位数是___
7.12+22+32+……+92的个位数是__,12+22+32+……+192的个位数是__,12+22+32+……+292的个位数是__。
8. a,b,c是三个连续正整数,a2=14884,c2=15376,那么b2是( )
(A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15321
练习5
1.6,4,9,2,7,4,4,0,0,7,0要注意3,7为底的正奇数次幂的和为0,正偶数次幂的差为0
2.7 3.算出个位数的差为零 4.由32+1写出通解 m=2+4k(k为非负整数)
5.可用列表观察其规律
n=
1
2
3
4
2n=
7n+2=
2n+7n+2
6.5;1,3或7,9;2,4,6,8;3,7。
7.5;0;5 8. B
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