最新人教版高中数学必修5第二章《等比数列的前n项和》教学建议Word下载.docx
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若
(2)等比中项法:
(3)通项法:
若
(4)前n项和法:
若数列为等比数列。
7.解等比数列题的常见思维方法
(1)方程的思想(“知三求二”问题);
(2)转化化归思想;
化归为等比数列,转化为基本量;
(3)分类的思想:
q=1和q≠1;
由an+1-an=a1qn-1(q-1)讨论增减等.
(4)等比数列中,次数较高时,常作同除.
三、双基题目练练手
1.(2006湖北)若互不相等的实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=()
A.4B.2C.-2D.-4
2.银行一年定期的年利率为r,三年定期的年利率为q,银行为吸收长期资金,鼓励储户存三年定期的存款,那么q的值应略大于()
A.B.[(1+r)3-1]C.(1+r)3-1D.r
3.(2006辽宁)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则Sn等于()
(A)(B)(C)(D)
4.(2006北京)设,则等于()
(A)(B)(C)(D)
5.在2与6之间插入n个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为
6.已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,则通项公式为
简答:
1-4.DBCD;
2.由题意得(1+r)3<1+3q,故q>[(1+r)3-1];
4.通项an=23n-2,f(n)是前n+4项的和;
5.
6.转化为基本量a1,q,an=2n-1或an=23-n.
四、经典例题做一做
【例1】(2006陕西)已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
解:
∵10Sn=an2+5an+6,①代n=1得10a1=a12+5a1+6,a1=2或a1=3
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>
0,∴an-an-1=5(n≥2)
当a1=3时,a3=13,a15=73a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n-3
【例2】等比数列{an}的各项均为正数,其前n项中,数值最大的一项是54,若该数列的前n项之和为Sn,且Sn=80,S2n=6560,求:
(1)前100项之和S100.
(2)通项公式an.
解:
设公比为q,由已知得
Sn==80,①
S2n==6560,②
由②÷
①解得,qn=81,q>
1,(∵an>0),可知最大项为an=a1qn-1③
qn=81代入①③得a1=2,q=3,
(1)前100项之和S100==3100-1.
(2)通项公式为an=2·
3n-1.
提炼方法:
1.转化为基本量;
2.解方程次数较高时除一下可降次.3.判定最大项的方法.
【例3】(2005全国Ⅲ)在等差数列{an}中,公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,成等比数列,求数列k1,k2,k3,…,kn的通项kn
由题意得:
即
又an=na1
又成等比数列,
∴该数列的公比,
其中第n+2项:
又
所以数列的通项为
方法步骤:
1.推a1=d,an=na1;
q=a3÷
a1=3,;
2.比较在两数列中的式子.
【例4】已知,点在函数的图象上()
(1)证明数列是等比数列;
(2)设,求及数列的通项;
(Ⅰ)由已知,
,两边取对数得,
即是公比为2的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
(*)
=
由(*)式得
【研讨.欣赏】设数列{an},a1=,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:
an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.
(1)求证:
{an-}为等比数列;
(2)求an;
(3)求{an}的前n项和Sn.
证明
(1)∵α+β=,αβ=代入3α-αβ+3β=1得an=an-1+,
∴==为定值.
∴数列{an-}是等比数列.
解
(2)∵a1-=-=,
∴an-=×
()n-1=()n.
∴an=()n+.
解(3)Sn=(++…+)+=+=-.
五.提炼总结以为师
1.等比数列的概念和性质,证明数列{an}是等比数列的方法:
2.等比数列的通项公式与前n项和公式的求法与应用;
五个元素a1,an,n,q,Sn中知三,可求另两个.次数较高时可除或换元;
3.思想.方法:
转化为基本量,利用性质,方程的思想,类比思想.
同步练习3.4等比数列
【选择题】
1.在公比q1的等比数列{an}中,若am=p,则am+n的值为()
(A)pqn+1(B)pqn-1(C)pqn(D)pqm+n-1
2.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a),a19+a20=b,则a99+a100的值为()
(A)(B)()9(C)(D)()10
3.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·
a2·
a3·
…·
a30=230,那么a3·
a6·
a9·
a30等于()
A.210B.220C.216D.215
4.若等比数列的各项均为正数,前项之和为,前项之积为,前项倒数之和为,则()
(A)=(B)>(C)(D)>
【填空题】
5.(2003上海)若首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和,则首项a1,公比q的一组取值可以是(a1,q)=___________.
6.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式an=______________.
简答.提示:
1-4.CABC;
3.a1·
a3=()3,故a1·
a30=()3.又q=2,故a3·
a30=220.选B;
4.特例法,设为常数列a,可知选C;
5.由题意<且|q|<1对n∈N都成立,∴a1>0,0<q<1.答案:
(1,)(a1>0,0<q<1的一组数);
6.分解因式得[(n+1)an+1-nan]·
[an+1+an]=0,又an>0,则(n+1)an+1-nan=0,即=.又a1=1,由累积法可得an=.
【解答题】
7.数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),若an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:
数列{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
证明
(1):
∵a1=S1,an+Sn=n,∴a1+S1=1,得a1=.
又an+1+Sn+1=n+1,两式相减得2(an+1-1)=an-1,即=,也即=,故数列{cn}是等比数列.
(2)解:
∵c1=a1-1=-,
∴cn=-,an=cn+1=1-,an-1=1-.
故当n≥2时,bn=an-an-1=-=.又b1=a1=,即bn=(n∈N*).
8.设数列{an}、{bn}(bn>0,n∈N*),满足an=(n∈N*),证明:
{an}为等差数列的充要条件是{bn}为等比数列.
证明:
充分性:
若{bn}为等比数列,设公比为q,则an===lgb1+(n-1)lgq,an+1-an=lgq为常数,
∴{an}为等差数列.
必要性:
由an=得nan=lgb1+lgb2+…+lgbn,(n+1)an+1=lgb1+lgb2+…+lgbn+1,
∴n(an+1-an)+an+1=lgbn+1.
若{an}为等差数列,设公差为d,
则nd+a1+nd=lgbn+1,
∴bn+1=10,bn=10.
∴=102d为常数.
∴{bn}为等比数列.
9. 设数列{an}前n的项和为Sn,且其中m为常数,
(1)求证:
{an}是等比数列;
(2)若数列{an}的公比满足q=f(m)且
为等差数列,并求
(1)由,得
两式相减,得
是等比数列
点评:
为了求数列的通项,用取"倒数"的技巧,得出数列的递推公式,从而将其转化为等差数列的问题
10.已知数列{an}中,a1=,并且数列log2(a2-),log2(a3-),…,log2(an+1-)是公差为-1的等差数列,求数列{an}的通项公式.
分析:
由数列{log2(an+1-)}为等差数列及等差数列的通项公式,可求出an+1与an的一个递推关系式解:
∵数列{log2(an+1-)}是公差为-1的等差数列,
∴log2(an+1-)=log2(a2-a1)+(n-1)(-1)=log2(-×
)-n+1=-(n+1),于是有an+1-=2-(n+1).两边同乘2n+1得
记
即是等比数列,首项
∴an=-.
【探索题】数列的通项公式分别是它们公共项由小到大排列的数列是,①写出的前5项②证明是等比数列
思维分析:
容易证明是等比数列,由定义式,只需找出中任意相邻两项关系即可.
解
(1)的前5项为:
8、32、128、512、2048
(2)设,
而am+1=2·
2m=2(3p+2)=3(2p+1)+1,∴am+1不在{bn}中;
又am+2=4·
2m=4·
(3p+2)=3·
(4p+2)+2
∴am+2在{bn}中
特别识记:
本题是很特别的方法,与前面两个等差数列中相同的项构成的新数列的求法是不同的.应特别的记一记.
备选题
3.(2006湖南)若数列满足:
且对任意正整数都有,则(A)
A.B.C.D.
1.若等比数列{an}的公比q<0,前n项和为Sn,则S8a9与S9a8的大小关系是
A.S8a9>S9a8B.S8a9<S9a8C.S8a9=S9a8D.不确定
解析:
由等比数列通项公式和前n项和公式得
S8·
a9-S9·
a8
=-·
a1q3-·
a1q7
===-a12q7.
又q<0,则S8·
a8>0,即S8·
a9>S9·
a8.
答案:
A
5.已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:
a,a,…,a,恰为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn.
剖析:
运用等差(比)数列的定义分别求得a,然后列方程求得kn.
设{an}的首项为a1,∵a、a、a成等比数列
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d)得a1=2d,q==3.
∵a=a1+(kn-1)d,又a=a
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