小学奥数16数阵图Word格式文档下载.doc
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解:
已给出的五个数字和是:
1+2+3+4+5=15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20了。
20-15=5,怎样才能增加5呢?
因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5,关键找到了,中心数必须填5。
确定中心数后,按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端,使每条线上数的和是10便可。
例2将1~7七个数字,分别填入图中的各个○内,使每条线上的三个数和相等。
图中共有3条线,若每条线数字和相等,三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a,则a被重复使用了2次。
即,1+2+3+4+5+6+7+2a=28+2a,28+2a应能被3整除。
(28+2a)÷
3=28÷
3+2a÷
3
其中28÷
3=9…余1,所以2a÷
3应余2。
由此,便可推得a只能是1、4、7三数。
当a=1时,28+2a=3030÷
3=10,其他两数的和是10-1=9,只要把余下的2、3、4、5、6、7,按和为9分成三组填入两端即可。
同理可求得a=4、a=7两端应填入的数。
例3将从1开始的连续自然数填入各○中,使每条线上的数字和相等。
图中共有三条线,若每条线数字和相等,三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a,a被重复使用了两次,即:
1+2+3+……+10+2a=55+2a,55+2a应能被3整除。
(55+2a)÷
3=55÷
其中,55÷
3=18余1,所以2a÷
由此,可推知a只能在1、4、7中挑选。
在a=1时,55+2a=57,57÷
3=19,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。
但是除掉中心数1,在其余九个数字中,只有两组可满足这一条件,即:
9+7+2=18,8+6+4=18,7+5+3=15所以,a不能填1。
经试验,a=7时,余下的数组合为12(19-7=12),也不能满足条件。
因此,确定a只能填4。
例4将1~9九个数字,填入下图各○中,使纵、横两条线上的数字和相等。
1~9九个数字和是:
1+2+3+……+9=5×
9=45,把45平分成两份:
45÷
2=22余1。
这就是说,若使每行数字和为23,则需把1重复加一次,即中心数填1;
若使数字和为24,中心数应填3……。
总之,因45÷
2余数是1,只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用,才有可能使横、竖行的数字和相等。
因而,此题可有多种解法。
但中心数必须是9以内的奇数。
例5将1~11十一个数字,填入下图各○中,使每条线段上的数字和相等。
图中共有五条线段,全部数字的总和必须是5的倍数,每条线上的数字和才能相等。
1~11十一个数字和为66,66÷
5=13余1,必须再增加4,可使各线上数字和为14。
共五条线,中心数重复使用4次,填1恰符合条件。
此题的基本解法是:
中心数重复使用次数与中心数的积,加上原余数1,所得的和必须是5的倍数。
据此,中心数填6、11均可得解。
1.10.5.3封闭型数阵
例1把2、3、4、5、6、7六个数字,分别填入○中,使三角形各边上的数字和都是12。
要使三角形每边上的数字和都是12,则三条边的数字和便是12×
3=36,而2+3+4+5+6+7=27,36与27相差9。
三个角顶的数字都重复使用两次,只有这三个数字的和是9,才能符合条件。
确定了角顶的数字,其他各数通过尝试便容易求得了!
这题还可有许多解法,上图只是其中一种。
例2把1~9九个数字,分别填入下图○中,使每边上四个数的和都是21。
要使三角形每条边上的数字和是21,则三条边的数字和便是:
21×
3=63。
而1~9九个数字的和只有45。
45比63少18,只有使三角形三个顶角的数字和为18,重复使用两次,才能使总和增加18。
所以应确定顶点的三个数。
下面是填法中的一种。
确定了顶角的数后,其他各数便容易了。
例3下图是四个互相联系的三角形。
把1~9九个数字,填入○中,使每个三角形中数字的和都是15。
每个三角形数字和都是15,四个三角形的数字和便是:
15×
4=60,而1~9九个数字和只有45。
45比60少15。
怎样才能使它增加15呢?
靠数字重复使用才能解决。
中间的一个三角形,每个顶角都联着其他三角形,每个数字都被重复使用两次。
因此,只要使中间的一个三角形数字和为15,便可以符合条件。
因此,它的三个顶角数字,可以分别为:
1、9、52、8、52、7、64、6、5及2、9、43、8、43、7、58、6、1。
把中间的三角形各顶角数字先填出,其他各个三角形便容易解决了。
前页下图是其中的一种。
例4把2~10九个数字,分别填入下图○中,使每条直线上的三个数和为15。
2~10九个数字的和为:
2+3+4+……+10=6×
9=54
若排成每个三角形每边的数字和都是15,图中含有每边都三个数字的三角形有两个,共六条边,数字总和应是15×
6=90。
54比90少36。
在外围的六个数都被重复使用了两次,它们又分属于两个三角形。
所以,每个三角形三个顶角的数和应为:
36÷
2=18。
这样,便可以先填外三角形三个顶角的数。
三个数和为18的有很多组,可以通过试验筛选出适宜的一组。
填好了外围三角形各个数后,里面的三角形,因为顶角的数已知,其他各数便容易填写了。
上面是填法中的一种。
例5把1~10十个数字,分别填入下图○中,使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。
图中有三个三角形,顶角数字互不联系,中心的一个数独立于各个三角形之外。
因此,要使各三角形顶角的数字和相等。
去掉中心数后,数字总和应是3的倍数,而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。
如:
以10为中心数,可填为如上图样。
例6将1~12分别填入下图○中,使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。
图中共有四个三角形,共有六个边。
1~12的数字和是78。
每条边上的数字和应为:
78÷
6=13。
这样,我们可以推想:
因为内部的三条边都被重复计算两次,只要每个数增加1,十二个数的总和便增加6,它们同样可以填出来,因而,本题的解法是很多的。
7、把九个数分别填入下图○中,使每条直线上的三个数的和都相等。
九个分数排成方阵,使纵、横、对角线的三个数和相等,这已经符合幻方的要求了,因此,可以按幻方的制作方法求解。
这十二个分数,按从小到大的顺序排列是:
把它们按序排列为斜方形:
将上、下两数,左、右两数对调,再把中间四数向外拉出,这样重新组成的数阵,便是求得的解了。
例8将1~8八个数字,分别填入下图○中,使每个小三角形顶点上三数之和为12。
图中共有四个小三角形,每个三角形顶点数字的和若都是12,数字总和便是12×
4=48,可是1~8八个数字总和只有36。
36比48少12。
只有靠共用顶角上数的重复使用,才能解决。
因此,必须把四个公用顶角的数字和填成12。
把1~8八个数四个一组,和为12的有:
6+3+2+1
5+4+2+1
上述两组中,经验证,只有6+3+2+1可以作公用顶点的数字。
例9在下图五个○内,各填入一个自然数,使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。
求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。
能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组,但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。
最小的一组自然数中的五个数,若有两个相同的,其中三个数的和可以多到有7个不同值,因此,五个数互不相同。
如果这五个数是1,2,3,4,5,则其中三个数的和有如下组合方式:
1+2+3=62+3+4=93+4+5=12
1+2+4=71+3+4=82+3+5=10
2+4+5=11
这样,总共只有七种不同的和,而图中共八个三角形,可知1,2,3,4,5五个自然数不能满足条件。
例10在下列图中三个正方形中,每个正方形的四个顶点上,只填入1,2,3,4四数,使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
图中,顶角在大正方形边上的四个三角形,顶角都分别为两个三角形共用,只有正方形的四个角分别只属于一个三角形,所以,四个三角形顶点数字的和应等于:
(1+2+3+4)×
3=30
30不是4的倍数,因而,外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。
同理,里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。
题中要求,每个三角形顶点数字和不相同,1~4四个数之和最小值是1+1+2=4,最大值是4+4+3=11,这样共可组成八组数,将八组数分别填入各个三角形顶点,便可符合条件。
例11将1~8八个数字,分别填入下图○中,使每个面的四个数和相等。
数字图是个正立方体,共有六个面。
每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。
1~8八个数的数字总和是:
1+2+3+……+8=36
因为每个顶点的数都被重复使用三次,所以六个面的数字总和是:
36×
3=108
每个面的数字和便是:
108÷
6=18
这样,便可填为下图或其他形式。
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