全等三角形证明中考题选答案齐全解读文档格式.docx
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,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
4.
(1)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°
①当点D在AC上时,如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
直接写出你猜想的结论;
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°
<α<90°
),如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系?
请说明理由.
(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时,使线段BD、CE在
(1)中的位置关系仍然成立?
不必说明理由.
甲:
AB:
AC=AD:
AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°
;
乙:
AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°
丙:
AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°
5.如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,如图①,然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到图③,请解答下列问题:
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是 _________ ;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k•AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:
AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
6.CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°
,∠α=90°
,
则BE _________ CF;
EF _________ |BE﹣AF|(填“>”,“<”或“=”);
②如图2,若0°
<∠BCA<180°
,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 _________ ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
7.课外兴趣小组活动时,许老师出示了如下问题:
如图1,己知四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠DAB=60°
,∠B与∠D互补,求证:
AB+AD=AC.小敏反复探索,不得其解.她想,若将四边形ABCD特殊化,看如何解决该问题.
(1)特殊情况入手添加条件:
“∠B=∠D”,如图2,可证AB+AD=AC;
(请你完成此证明)
(2)解决原来问题受到
(1)的启发,在原问题中,添加辅助线:
如图3,过C点分别作AB、AD的垂线,垂足分别为E、F.(请你补全证明)
8.如图,已知AB=AC,
(1)若CE=BD,求证:
GE=GD;
(2)若CE=m•BD(m为正数),试猜想GE与GD有何关系.(只写结论,不证明)
9.
(1)已知:
如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°
求证:
①AC=BD;
②∠APB=60度;
(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为 _________ ;
∠APB的大小为 _________ ;
(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为 _________ ;
∠APB的大小为
10.(A类)如图,DE⊥AB、DF⊥AC.垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
①AB=AC;
②BD=CD;
③BE=CF
已知:
DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BD=CD
求证:
BE=CF
DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,AB=AC,BE=CF
BD=CD
DE⊥AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,BD=CD,BE=CF
AB=AC
(B类)如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况).
②DE=DF;
EG∥AF,AB=AC,DE=DF
参考答案与试题解析
一.解答题(共10小题)
1.(2013•泉州)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B、C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:
考点:
全等三角形的判定与性质.1125860
专题:
证明题.
分析:
根据中线的定义可得BD=CD,然后利用“角角边”证明△BDE和△CDF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证.
解答:
证明:
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD,
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°
在△BDE和△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴BE=CF.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.
2.(2013•河南)如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°
①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 S1=S2 .
几何综合题;
压轴题.
(1)①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°
,然后根据内错角相等,两直线平行解答;
②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;
(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;
(3)过点D作DF1∥BE,求出四边形BEDF1是菱形,根据菱形的对边相等可得BE=DF1,然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点,过点D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°
,从而得到△DF1F2是等边三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等,根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点,然后在等腰△BDE中求出BE的长,即可得解.
解:
(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°
﹣∠B=90°
﹣30°
=60°
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°
又∵∠CDE=∠BAC=60°
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
②∵∠B=30°
,∠C=90°
∴CD=AC=AB,
∴BD=AD=AC,
根据等边三角形的性质,△ACD的边AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),
即S1=S2;
故答案为:
DE∥AC;
S1=S2;
(2)如图,∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°
,∠DCM+∠BCN=180°
﹣90°
=90°
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
(3)如图,过点D作DF1∥BE,易求四边形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此时S△DCF=S△BDE,
过点D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°
∴∠F1DF2=∠ABC=60°
∴△DF1F2是等边三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°
,点D是角平分线上一点,
∴∠DBC=∠DCB=×
60°
=30°
∴∠CDF1=180°
=150°
∠CDF2=360°
﹣150°
﹣60°
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴点F2也是所求的点,
,点D是角平分线上一点,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×
又∵BD=4,
∴BE=×
4÷
cos30°
=2÷
=,
∴BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,
故BF的长为或.
本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的面积,等边三角形的判定与性质,直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟练掌握等底等高的三角形的面积相等,以及全等三角形的面积相等是解题的关键,(3)要注意符合条件的点F有两个.
3.(2013•大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°
(1)在△CBF和△DBG中,利用S
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