NOIP基础算法贪心和分治.ppt
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NOIP基础算法分治与贪心,第五部分,分治策略,一、分治思想,分治法,又叫分治策略,顾名思义,分而治之。
它的基本思想:
对于难以直接解决的规模较大的问题,把它分解成若干个能直接解决的相互独立的子问题,递归求出各子问题的解,再合并子问题的解,得到原问题的解。
通过减少问题的规模,逐步求解,能够明显降低解决问题的复杂度。
二、分治法的适用条件,能使用分治法解决的问题,它们一般具备以下几个特征:
该问题可分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题;子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解;子问题的解合并后,能得到原问题的解;分治法在信息学竞赛中应用非常广泛,使用分治策略能生成一些常用的算法和数据结构,如快排、最优二叉树、线段树等;还可以直接使用分治策略,解决一些规模很大、无法直接下手的问题。
三、分治的三步骤,分解:
将要解决的问题分解成若干个规模较小的同类子问题;解决:
当子问题划分得足够小时,求解出子问题的解。
合并:
将子问题的解逐层合并成原问题的解。
分治算法设计过程图,在划分问题时,可以采用递归策略,把一个大问题逐步分解成规模较小的子问题,直至可以直接求出子问题的解;再将子问题逐层合并,返回到顶层,得到原问题的解。
根据分治策略的划分原则,把原问题划分成多少个子问题才合适呢?
各个子问题的规模应该多大才合适呢?
一般来说,每次划分成2个子问题,每个子问题的规模差不多最合适。
合并解时要因题而异,有些问题递归分解完能直接得到原问题的解,有些问题需逐层合并,得到原问题的解。
四、分治的框架结构,procedureDivide()beginif(问题不可分)then/解决begin直接求解;返回问题的解;endelsebegin对原问题进行分治;/分解递归对每一个分治的部分进行求解;/解决归并整个问题,得出全问题的解;/合并endend;,五、分治的典型应用,1、求最大值和最小值2、求方程的根3、二分查找4、归并排序5、快速幂6、求解线性递推关系7、棋盘覆盖问题8、循环日程表问题9、寻找最近点对,1、求最大值和最小值,例题1:
给n个数,求它们之中最大值和最小值,要求比较次数尽量小。
分析:
假设数据个数为n,存放在数组a1.n中。
可以直接进行比较:
minn:
=a1;maxx:
=a1;fori:
=2tondoifaimaxxthenmaxx:
=ai;elseifaiminnthenminn:
=ai;使用这一算法,比较次数为2(n-1)。
若n=10,则比较18次。
【方法2】分治策略划分:
把n个数均分为两半。
即:
划分点为d=(r1+r2)/2,两个区间为r1,d和d+1,r2。
递归求解:
求左半的最小值min1和最大值max1以及右半最小值min2和最大值max2。
合并:
max1与max2比较得到所有数的最大值为maxx;min1与min2比较得到所有数的最小值为minn。
procedurepd(r1,r2:
integer;varmaxx,minn:
integer)beginvarmax1,min1,max2,min2,d:
integer;ifr1=r2thenbeginmaxx:
=xr1;minn:
=xr1;endelseifr2=r1+1thenbeginifxr2xr1thenbeginmaxx:
=xr2;minn:
=xr1;endelsebeginmaxx:
=xr1;minn:
=xr2;endendelsebegind:
=(r1+r2)/2;pd(r1,d,max1,min1);pd(d+1,r2,max2,min2);ifmax1max2thenmaxx:
=max1;elsemaxx:
=max2;ifmin1min2thenminn:
=min1;elseminn:
=min2;endend,2、求方程的根,例题2:
一元三次方程求解(NOIP2001)【题目描述】有形如:
ax3+bx2+cx+d=0这样的一个一元三次方程。
给出该方程中各项的系数(a,b,c,d均为实数),并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间),且根与根之差的绝对值=1。
要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格),并精确到小数点后4位。
【文件输入】输入仅一行,有四个数,依次为a、b、c、d【文件输出】输出也只有一行,即三个根(从小到大输出)【样例输入】1-5-420【样例输入】-2.002.005.00,分析,如果精确到小数点后两位,可用简单枚举法:
将x从-100.00到100.00(步长0.01)逐一枚举,得到20000个f(x),取其值与0最接近的三个f(x),对应的x即为答案。
而题目已改成精度为小数点后4位,枚举算法时间复杂度将达不到要求。
直接使用求根公式,极为复杂。
加上本题的提示给我们以启迪:
采用二分法逐渐缩小根的范围,从而得到根的某精度的数值。
分析,A.当已知区间(a,b)内有一个根时;用二分法求根,若区间(a,b)内有根,则必有f(a)*f(b)b或f(a+b)/2)=0,则可确定根为(a+b)/2并退出过程;、若f(a)*f(a+b)/2)0,则必然有f(a+b)/2)*f(b)0,根在(a+b)/2,b)中,对此区间重复该过程。
执行完毕,就可以得到精确到0.0001的根。
分析,B、求方程的所有三个实根所有的根的范围都在-100至100之间,且根与根之差的绝对值=1。
因此可知:
在-100,-99、-99,-98、99,100、100,100这201个区间内,每个区间内至多只能有一个根。
即:
除区间100,100外,其余区间a,a+1,只有当f(a)=0或f(a)*f(a+1)0时,方程在此区间内才有解。
若f(a)=0,解即为a;若f(a)*f(a+1)0,则可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。
如此可求出方程的所有的解。
核心参考代码,procedureDivide(x1,x2:
double)Beginvarx0,y0,y1,y2:
double;x0:
=(x1+x2)div2;y1:
=cal(x1);y2:
=cal(x2);y0:
=cal(x0);if(x2-x11)thendivide(x1,x0);if(y0*y21)thendivide(x0,x2);End;,3、归并排序,归并排序的基本思想:
归并排序充分应用分治算法的策略,通过二分的思想,将n个数最终分成n个单独的有序数列,每个数列中仅有一个数字;再将相邻的两列数据合并成一个有序数列;再重复上面的合并操作,直到合成一个有序数列。
按照分治三步法来说:
(1)划分:
把序列分成元素个数相等的两半;
(2)递归求解:
把两半分别排序;(3)合并:
把两个有序表合成一个有序表;,分析,显然,前两部分是很容易完成的,关键在于如何把两个有序表合成一个。
每次只需要把两个有序表中当前的最小元素加以比较,删除较小元素并加入合并后的新表中。
核心参考代码,procedureMergeSort(left,right:
integer)/归并排序beginifleft=rightthenexit;/只有一个元素mid:
=(left+right)div2;/找中间位MergeSort(left,mid);/对左边归并MergeSort(mid+1,right);/对右边归并i:
=left;j:
=mid+1,p:
=left;/合并左右while(iaj)thenbegintempp:
=aj;inc(p);inc(j);endelsebegintempp:
=ai;inc(p);inc(i);endwhile(i=mid)dobegintempp:
=ai;inc(p);inc(i);endwhile(j=right)dobegintempp:
=aj;inc(p);inc(i);endfori:
=lefttorightdoai:
=tempi;End;,【变形1】求逆序对数目,例题3:
求“逆序对”给定一整数数组A=(A1,A2,An),若iAj,则就为一个逆序对。
例如数组(3,1,4,5,2)的逆序对有,。
问题是,输入n和A数组,统计逆序对数目。
数据范围:
1=n=30000。
方法1:
朴素算法,在看完试题以后,我们不难想到一个非常简单的算法穷举算法,即对数组中任意的两个元素进行判断,看它们是不是构成“逆序对”,因此这种算法的时间复杂度为O(N2)。
c:
=0;fori:
=1ton-1doforj:
=i+1tondoifaiajthenc:
=c+1;时间效率不尽如人意.问题出现在哪里呢?
求逆序对的方法:
求逆序对有多种方法,目前使用比较广泛且实现比较简单的主要有三种算法:
1、归并排序2、线段树3、树状数组,方法2:
分治策略,采用二分法求解:
记数列ast,ed的逆序对数目为d(st,ed);mid=(st+ed)/2,则有:
d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed)其中F(st,mid,ed)表示一个数取自ast,mid,另一个数取自amid+1,ed所构成的逆序对数目。
和归并排序一样,划分和递归求解都好办,关键在于合并:
如何求出i在左边,而j在右边的逆序对数目呢?
统计的常见技巧是“分类”。
我们按照j的不同把这些“跨越两边”的逆序对进行分类:
只要对于右边的每个j,统计左边比它大的元素个数f(j),则所有f(j)之和便是答案。
幸运的是,归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算:
由于合并操作是从小到大进行排序的,当右边的aj复制到T中时,左边还没有来得及复制到T的那些数就是左边所有比aj大的数。
此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。
即把“if(aiaj)thenbegintempp:
=aj;inc(p);inc(j);end改为“if(aiaj)thenbegintot:
=tot+mid-i+1;tempp:
=aj;inc(p);inc(j);end,4、二分查找,【问题】给出从小到大排列的n个不同数a1an,试判断元素x是否出现在表中。
方法1:
顺序查找。
即一个一个进行寻找,时间复杂度为O(n)。
这个方法并没有用到“n个数从小到大排列”这一个关键条件,因而时间效率低下。
方法2:
二分查找,只需要比较log2n个元素。
假设需要在aLar中查找元素x。
划分:
检查某个元素am(Lx,那么元素只可能在aLam-1中如果amx,那么元素只可能在am+1ar中。
合并:
不需要合并。
实现方法1:
二分查找的递归实现,functionbsh(L,r,x:
integer):
integer;Beginvarm:
integer;ifLrexit(-1);m:
=(L+r)div2;ifam=xbsh:
=m;elseifamxthenbsh:
=bsh(L,m-1,x);elsebsh:
=bsh(m+1,r,x);End;,实现方法2:
二分查找的非递归实现,functionbsh(L,r,x:
integer):
integer;Beginvarm:
integer;while(Lxthenr:
=m-1elseL:
=m+1;endbsh:
=-1;/查找不成功End;,【扩展1】二分查找求下界,即第一次出现的位置functionErfen(L,r,x:
integer):
integer;beginvarmid:
integer;while(Lr)dobeginmid:
=(L+r)div2;ifx=amidthenr:
=midelseL:
=mid+1;end;Erfen:
=L;end;【扩展2】二分查找求上界,即最后一次出现位置的后一个位置,【变形1】:
奇怪的函数,【问题描述】使得xx达到或超过n位数字的最小正整数x是多少?
【文件输入】输入一个正整数n。
【文件输出】输出使得xx达到n位数字的最小正整数
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- NOIP 基础 算法 贪心 分治