最新高考数学专题复习word版课件96Word下载.docx
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A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±
x
离心率
e=,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2=a2+b2(c>
a>
b>
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线-=1(a>
0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为+=1(mn<
0).
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ×
)
(2)方程-=1(mn>
0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ×
(3)双曲线方程-=λ(m>
0,n>
0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±
=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ )
(5)若双曲线-=1(a>
0)与-=1(a>
0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
1.(教材改编)若双曲线-=1(a>
0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.B.5
C.D.2
答案 A
解析 由题意得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2.
∴e2==5,∴e=.
2.(2015·
安徽)下列双曲线中,渐近线方程为y=±
2x的是( )
A.x2-=1B.-y2=1
C.x2-=1D.-y2=1
解析 由双曲线渐近线方程的求法知:
双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±
2x,故选A.
3.(2014·
广东)若实数k满足0<
k<
9,则曲线-=1与曲线-=1的( )
A.焦距相等B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等D.离心率相等
解析 因为0<
9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线-=1的实半轴长为5,虚半轴长为,焦距为2=2,离心率为.双曲线-=1的实半轴长为,虚半轴长为3,焦距为2=2,离心率为,故两曲线只有焦距相等.故选A.
4.已知F为双曲线C:
x2-my2=3m(m>
0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为________.
答案
解析 双曲线C的标准方程为-=1(m>
0),其渐近线方程为y=±
x,即y=±
x,不妨选取右焦点F(,0)到其中一条渐近线x-y=0的距离求解,得d==.
5.(教材改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.
答案 -=1
解析 设双曲线的方程为-=±
1(a>
0),把点A(3,-1)代入,得a2=8,故所求方程为-=1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 双曲线定义的应用
例1 已知圆C1:
(x+3)2+y2=1和圆C2:
(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
答案 x2-=1(x≤-1)
解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=
|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)焦距为26,且经过点M(0,12);
(3)经过两点P(-3,2)和Q(-6,-7).
解
(1)设双曲线的标准方程为
-=1或-=1(a>
由题意知,2b=12,e==.
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.
又2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
∴双曲线的标准方程为-=1.
(3)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>
∴解得
思维升华 求双曲线标准方程的一般方法:
(1)待定系数法:
设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).
(2)定义法:
依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点位置确定c的值.
(1)(2015·
课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±
x,则该双曲线的标准方程为__________________.
(2)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为________.
答案
(1)-y2=1
(2)-=1
解析
(1)由双曲线渐近线方程为y=±
x,可设该双曲线的标准方程为-y2=λ(λ≠0),已知该双曲线过点(4,),所以-()2=λ,即λ=1,
故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.
由双曲线的定义知:
a=4,b=3.
故曲线C2的标准方程为-=1.
即-=1.
题型二 双曲线的几何性质
例3
(1)过双曲线-=1(a>
0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
(2)(2015·
山东)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:
-=1(a>
0)的渐近线与抛物线C2:
x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.
答案
(1)C
(2)
解析
(1)如图,
∵=2,
∴A为线段BF的中点,
∴∠2=∠3.
又∠1=∠2,∴∠2=60°
,
∴=tan60°
=,
∴e2=1+()2=4,∴e=2.
(2)由题意,不妨设直线OA的方程为y=x,
直线OB的方程为y=-x.
由得x2=2p·
x,
∴x=,y=,∴A.
设抛物线C2的焦点为F,则F,
∴kAF=.
∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB,∴kAF·
kOB=-1,
∴·
=-1,∴=.
设C1的离心率为e,则e2===1+=.
∴e=.
思维升华
(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>
0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±
满足关系式e2=1+k2.
(2)求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
重庆)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±
B.±
C.±
1D.±
湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>
0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1<
e2
B.当a>
b时,e1<
e2;
当a<
b时,e1>
C.对任意的a,b,e1>
D.当a>
答案
(1)C
(2)B
解析
(1)如图,双曲线-=1的右焦点F(c,0),左,右顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),
易求B,C,
则kA2C=,kA1B=,又A1B与A2C垂直,
则有kA1B·
kA2C=-1,即·
=-1,
∴=1,∴a2=b2,即a=b,
∴渐近线斜率k=±
=±
1.
(2)e1=,e2=.不妨令e1<
e2,化简得<
(m>
0),得bm<
am,得b<
a.所以当b>
a时,有>
,即e1>
当b<
a时,有<
,即e1<
e2.故选B.
题型三 直线与双曲线的综合问题
例4
(1)(2015·
四川)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于( )
A.B.2
C.6D.4
答案 D
解析 右焦点F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x2-=0,将x=2代入渐近线方程得y2=12,∴y=±
2,
∴A(2,2),B(2,-2),∴|AB|=4.
(2)若双曲线E:
-y2=1(a>
0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.
①求k的取值范围;
②若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值.
解 ①由得
故双曲线E的方程为x2-y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*)
∵直线与双曲线右支交于A,B两点,
故
即所以1<
.
故k的取值范围是{k|1<
}.
②由(*)得x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=·
=2=6,
整理得28k4-55k2+25=0,∴k2=或k2=,
又1<
,∴k=,
所以x1+x2=4,y1+y2=k(x1+x2)-2=8.
设C(x3,y3),由=m(+),
得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4m,8m).
∵点C是双曲线上一点.
∴80m2-64m2=1,得m=±
故k=,m=±
思维升华
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:
将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;
当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.
已知双曲线C的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C上一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直
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