立体几何高三数学单元测试题Word文件下载.docx
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D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故选项A错误;
对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故选项B错误;
对C,m与n垂直而非平行,故选项C错误;
对D,垂直于同一平面的两直线平行,故选项D正确.
D
3.设P是异面直线a,b外的一点,则过点P与a,b都平行的平面( )
A.有且只有一个B.恰有两个
C.不存在或只有一个D.有无数个
过点P作a1∥a,b1∥b,若过a1,b1的平面不经过a,b,则存在一个平面同时与a,b平行;
若过a1,b1的平面经过a或b,则不存在这样的平面同时与a,b平行.
C
4.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是( )
A.若a∥b,则α∥β
B.若α⊥β,则a⊥b
C.若a,b相交,则α,β相交
D.若α,β相交,则a,b相交
若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面,故D为假命题.
5.一个几何体的侧视图和俯视图如图所示,若该几何体的体积为,则它的正视图为( )
由几何体的侧视图和俯视图,可知几何体为组合体,由几何体的体积为,可知上方为棱锥,下方为正方体.由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点,顶点到正方体上底面的距离为1,所以选B.
6.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.27-B.18-
C.27-3πD.18-3π
由几何体的三视图可知该几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱,所以所求体积为×
(2+4)×
2×
3-π×
12×
3=18-.
7.半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )
A.π6B.π2
C.π2D.5π12
正方体上底面的中心即球的球心,设球的半径为R,正方体的棱长为a,则有R2=a2+2,得R2=a2,所以半球的体积与正方体的体积之比为πR3a3=π2.
8.如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分别为A1B1,AB的中点.给出下列结论:
①C1M⊥平面A1ABB1;
②A1B⊥AM;
③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
由于ABCA1B1C1为直三棱柱,所以A1A⊥C1M.由B1C1=A1C1,M为A1B1的中点,得C1M⊥A1B1.又AA1∩A1B1=A1,所以C1M⊥平面A1ABB1,所以①正确.因为C1M⊥平面A1ABB1,所以C1M⊥A1B.又AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,所以A1B⊥平面AMC1,所以AM⊥A1B,所以②正确.由AM∥B1N,C1M∥CN,可得平面AMC1∥平面CNB1,所以③正确,故正确结论共有3个.
9.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;
②OM∥平面APC;
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,其中正确的是( )
A.①②B.①②③
C.①D.②③
对于①,∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;
对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC,∴OM∥平面PAC,对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.
10.(优质试题·
山西大学附中高三诊断)Rt△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c(其中c为斜边),分别以a,b,c边所在的直线为旋转轴,将△ABC旋转一周得到的几何体的体积分别是V1,V2,V3,则( )
A.V1+V2=V3B.+=
C.V+V=VD.+=
以a边为旋转轴的几何体的体积V1=b2πa,以b边为旋转轴的几何体的体积V2=a2πb,以c边为旋转轴的几何体的体积V3=2πc=,所以+=+===.故选D.
11.正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
A.B.
C.D.
建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1(,1,0),A(0,0,2),=(,1,-2).
平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0),所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为==.
12.如图,已知三棱锥PABC的体积为,且PA⊥AB,PC⊥BC,∠ABC=120°
,AB=BC=1,若顶点P,A,B,C都在球O的球面上,则球O的表面积是( )
A.48πB.24π
C.16πD.13π
因为△PAB,△PCB是以PB为斜边的全等的直角三角形,所以球心O就是PB的中点,取AC的中点D,连接BD并延长与△ABC的外接圆O1(圆心为O1)交于点E,连接PD,PE,OO1,AO1,PB是球的直径,所以PE⊥BE,OO1⊥BE,BD⊥AC,PD⊥AC,VP-ABC=S△ABC·
PE=S△PBD·
AC=,解得PE=2;
在△ABC中,∠ABC=120°
,AB=BC=1,则圆O1的半径为1,在△OO1B中,OO1=,O1B=1,故球的半径OB=2,球O的表面积是16π.选C.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).
由公理知①正确,当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;
当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;
a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.
①
14.在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,ABCD为正方形,AB=PA=2,M,N分别为PA,PB的中点,则MD与AN所成角的余弦值为________.
如图所示,取CD的中点E,连接AE,NE,MN.易得MN∥DE,MN=DE,故四边形MNED为平行四边形,所以MD∥NE,所以∠ANE为异面直线AN与MD所成的角,在△ANE中,AE=,NE=MD=,AN=PB=,故cos∠ANE===.
15.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,若E,F分别为AB,AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1,V2的两部分(其中V1为棱台的体积),则V1V2=________.
75
16.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,ADBCAB=234,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论:
①DF⊥BC;
②BD⊥FC;
③平面DBF⊥平面BFC;
④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是______
.
因为BC∥AD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,则①不成立;
设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而ADBCAB=234可使条件满足,所以②正确;
当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确;
因为点D的射影不可能在FC上,所以④不成立.
②③
三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)
17.(10分)如图所示,AB为圆O的直径,点F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.
(1)设FC的中点为M,求证:
OM∥平面DAF;
(2)求证:
AF⊥平面CBF.
证明:
(1)设DF的中点为N,连接MN,AN,则MN∥CD,MN=CD,又∵AO∥CD,AO=CD,∴MN∥AO,MN=AO,∴MNAO为平行四边形,∴OM∥AN.
又∵AN⊂平面DAF,OM⊄平面DAF,∴OM∥平面DAF.
(2)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴CB⊥平面ABEF
∵AF⊂平面ABEF,∴AF⊥CB.
又∵AB为圆O的直径,∴AF⊥BF.
又∵CB∩BF=B,∴AF⊥平面CBF.
18.(12分)已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.
(1)求证:
A1E⊥BD;
(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:
平面A1BD⊥平面EBD.
连接AC,设AC∩DB=O,连接A1O,OE,
(1)因为AA1⊥底面ABCD,所以BD⊥A1A.又BD⊥AC,A1A∩AC=A,
所以BD⊥平面ACEA1.
又因为A1E⊂平面ACEA1.
所以A1E⊥BD.
(2)在等边三角形A1BD中,BD⊥A1O.又因为BD⊥平面ACEA1,OE⊂平面ACEA1,所以BD⊥OE,所以∠A1OE为二面角A1BDE的平面角.在正方体ABCDA1B1C1D1中,设棱长为2a,因为E为棱CC1的中点,由平面几何知识,得EO=a,A1O=a,A1E=3a.满足A1E2=A1O2+EO2,
所以∠A1OE=90°
即平面A1BD⊥平面EBD.
19.(12分)已知点P在矩形ABCD的边DC上,AB=2,BC=1,点F在AB边上且DF⊥AP,垂足为E,将△ADP沿AP边折起,使点D位于D′位置,连接D′B、D′C得四棱锥D′ABCP.
D′F⊥AP;
(2)若PD=1,且平面D′AP⊥平面ABCP,求四棱锥D′ABCP的体积.
解:
(1)证明:
∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E,∴AP⊥平面D′EF,∴AP⊥D′F.
(2)连接PF,∵PD=1,
∴四边形ADPF是边长为1的正方形,
∴D′E=DE=EF=.
∵平面D′AP⊥平面ABCP,D′E⊥AP,
∴D′E⊥平面ABCP,
∵S梯形ABCP=×
(1+2)×
1=,
∴VD′ABCP=D′E·
S梯形ABCP=.
20.(12分)(优质试题·
河北唐山一模)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=,M为BB1的中点,O1为上底面对角线的交点.
O1M⊥平面ACM;
(2)求AD1与平面ADM所成角的正弦值.
连接AO1,BD,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以BB1⊥AC.
∵四边形ABCD是边长为2的菱形,∴AC⊥BD,
又∵BD∩BB1=B,∴AC⊥平面DBB1D1,
又∵O1M⊂平面DBB1D1,∴AC⊥O1M.
∵直四棱柱所有棱长均为2,∠BAD=,M为BB1的中点,∴BD=2,AC=2,B1M=BM=1,
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