高二上学期期中考试数学理试题 含答案.docx
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高二上学期期中考试数学理试题含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学(理)试题含答案
一、选择题:
本大题共13个小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合,,则中的元素的个数为()
A.2B.4C.6D.8
2.若函数的定义域为,则函数的定义域是()
A.B.C.D.
3.已知实数,满足,,且,,成等比数列,则有()
A.最大值B.最大值C.最小值D.最小值
4.某公司的班车在7:
30,8:
00,8:
30发车,小明在7:
50至8:
30之间到达发车站坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()
A.B.C.D.
5.如图,给出的是计算的值的一个程序框图,判断框内应填入的条件是()
A.B.C.D.
6.某商场为了了解毛衣的月销售量(件)与月平均气温()之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:
月平均气温
17
13
8
2
月销售量(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的,气象部门预测下个月的平均气温为,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()
A.58件B.40件C.38件D.46件
7.已知向量,满足,,且,则与的夹角为()
A.B.C.D.
8.下列有关命题:
①设,命题“若,则”的逆否命题为假命题;②命题:
,,的否定:
,,;③设,为空间任意两条直线,则“”是“与没有公共点”的充要条件.其中正确的是()
A.①②B.②③C.①③D.①②③
9.已知某几何体的正(主)视图,侧(左)视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形(如图),若该几何体的顶点都在同一球面上,则此球的表面积为()
A.B.C.D.
10.“”是“函数与函数的图象重合”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
11.已知数列,满足,,,且对任意的正整数,,,,当时,都有,则(注:
)的值为()
A.2012B.2013C.2014D.2015
12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,△是边长为1的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为()
A.B.C.D.
13.已知,满足且的最大值是最小值的4倍,则的值是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共98分)
二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)
14.的展开式中的系数为.(用数字作答)
15.如图,若由不等式组()确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆的圆心在轴上,则实数.
16.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有种.(用数字作答)
17.设、均为正实数,且,以点为圆心,为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为.
三、解答题(本大题共7小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.在△中,内角,,所对的边分别为,,,已知向量,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,△的面积为,求的值.
19.已知是各项均为正数的等比数列,且,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
20.如图,在四棱柱中,侧面底面,,底面为直角梯形,其中,,,为中点.
(1)求证:
平面;
(2)求锐二面角的余弦值.
21.10双互不相同的袜子混装在一只口袋中,从中任意抽取4只,求各有多少种情况出现如下结果.
(1)4只袜子没有成双;
(2)4只袜子恰好成双;
(3)4只袜子2只成双,另两只不成双.
22.在平面直角坐标系中,点,直线:
,设圆的半径为1,圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
23.某单位实行休年假制度三年以来,50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示:
休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
根据表中信息解答以下问题:
(1)从该单位任选两名职工,用表示这两人休年假次数之和,记“函数在区间上有且只有一个零点”为事件,求事件发生的概率;
(2)从该单位任选两名职工,用表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量的分布列及数学期望.
24.如图所示,在三棱柱中,是正方形的中心,,平面,且.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的正弦值.
试卷名称答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
B
B
C
D
C
D
C
A
B
A
D
A
B
二、填空题
14.2015.16.5617.
三、解答题
18.解:
(1)∵,∴,
由正弦定理,得,
∵,
∴,即,
∵,
∴.
(2)由三角形面积公式,得,
解得,
19.解:
(1)设公比为,则,由已知有,
化简得
又,故,,
所以.
(2)由
(1)可知,
因此.
20.
(1)证明:
如图,连接、、、,
则四边形为正方形,所以,
所以四边形为平行四边形,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
(2)因为,为中点,所以,
又侧面底面,
所以底面,
以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的坐标系,则,,,,
所以,,,,
设为平面的一个法向量,
由,,得
令,则,,∴,
又设为平面的一个法向量,
由,,得
令,则,,∴,
则,
故所求锐二面角的余弦值为.
21.解:
(1);
(2);
(3).
22.解:
(1)由得圆心,
∵圆的半径为1,
∴圆的方程为:
,
显然切线的斜率一定存在,设所求圆的切线方程为,即.
∴,
∴,∴或.
∴所求圆的切线方程为或.
(2)∵圆的圆心在直线:
上,所以,设圆心为,
则圆的方程为.
又∵,
∴设为,则,整理得,设为圆.
所以点应该既在圆上又在圆上,即圆和圆有交点,
∴,
由,得,
由,得.
综上所述,的取值范围为.
23.解:
(1)函数过点,在区间上有且只有一个零点,
则必有即解得,
所以或,
当时,,当时,,
与为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式,
所以.
(2)从该单位任选两名职工,用表示这两人休年假次数之差的绝对值,则的可能取值分别是0,1,2,3,
于是,,
,.
从而的分布列:
的数学期望:
.
24.解:
如图所示,建立空间直角坐标系,点为坐标原点,依题意得,,,,,.
(1)易得,,
于是.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
(2)易知,,
设平面的法向量,则即
不妨令,可得.
同样可设面的法向量,得.
于是,从而.
所以二面角的正弦值为.
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