专题一第三讲 基本初等函数函数与方程及函数的应用Word格式.docx

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要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为（4，＋∞），

∴函数f（x）的单调递增区间为（4，＋∞）．故选D.

D

3．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则log2f

（2）的值为（　　）

A.B．－

C．－1D．1

由幂函数f（x）＝xα的图象过点，得f＝α＝，α＝，则幂函数f（x）＝x，

∴f

（2）＝，∴log2f

（2）＝.故选A.

A

4．（2016·

高考北京卷）已知x，y∈R，且x>

y>

0，则（　　）

A.－>

0B．sinx－siny>

C.x－y<

0D．lnx＋lny>

利用函数的单调性进行判断．

A．考查的是反比例函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，因为x>

0，所以－<

0，所以A错误；

B.考查的是三角函数y＝sinx在（0，＋∞）上的单调性，y＝sinx在（0，＋∞）上不是单调的，所以不一定有sinx>

siny，所以B错误；

C.考查的是指数函数y＝x在（0，＋∞）上单调递减，因为x>

0，所以有x<

y，即x－y<

0，所以C正确；

D.考查的是对数函数y＝lnx的性质，lnx＋lny＝lnxy，当x>

0时，xy>

0，不一定有lnxy>

0，所以D错误．

C

5．函数f（x）＝lnx＋x－，则其零点所在区间是（　　）

A.B.

C.D．（1,2）

∵函数f（x）＝lnx＋x－在（0，＋∞）上是连续的，且函数f（x）＝lnx＋x－在（0，＋∞）上是增函数，

∴函数f（x）＝lnx＋x－在（0，＋∞）上至多只有一个零点．又由f＝ln＋＝ln<

ln1＝0，f

（1）＝>

0，所以函数的零点所在区间是，故选C.

6．已知函数f（x）＝lnx－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3），则函数f（x）的零点个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

设g（x）＝lnx，h（x）＝2[x]－3，当0＜x＜1时，h（x）＝－3，作出图象（图略），两函数有一个交点即一个零点；

当2≤x＜3时，h（x）＝1，ln2≤g（x）＜ln3，此时两函数有一交点，即有一零点，共2个零点．

7．（2017·

唐山模拟）若函数f（x）＝xlg（mx＋）为偶函数，则m＝（　　）

A．－1B．1

C．－1或1D．0

因为函数f（x）为偶函数，则xlg（mx＋）＝－xlg（－mx＋），即mx＋＝，整理得x2＝m2x2，所以m2＝1，所以m＝±

1，故选C.

8．已知函数f（x）＝ex－1，g（x）＝－x2＋4x－3.若f（a）＝g（b），则b的取值范围为（　　）

A．[2－，2＋]B．（2－，2＋）

C．[1,3]D．（1,3）

由题意可知，f（x）＝ex－1>

－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1.若f（a）＝g（b），则g（b）∈（－1,1]，即－b2＋4b－3>

－1.解得2－<

b<

2＋.

9．函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1,3）B．（1,2）

C．（0,3）D．（0,2）

因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，由题意得f

（1）·

f

（2）＝（0－a）（3－a）<

0，解得0<

a<

3，故选C.

10．若函数f（x）的零点与g（x）＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过，则f（x）可以是（　　）

A．f（x）＝4x－1B．f（x）＝（x－1）2

C．f（x）＝ex－1D．f（x）＝ln

g（x）＝4x＋2x－2在R上连续，且g＝＋－2<

0，g＝2＋1－2>

0.

设g（x）＝4x＋2x－2的零点为x0，则<

x0<

.

f（x）＝4x－1的零点为x＝，f（x）＝（x－1）2的零点为x＝1，

f（x）＝ex－1的零点为x＝0，f（x）＝ln的零点为x＝.

∵0<

x0－<

，∴<

.故选A.

11．已知a>

0且a≠1，若函数f（x）＝loga（ax2－x）在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是（　　）

A．（1，＋∞）

B.∪（1，＋∞）

C.∪（1，＋∞）

D.

f（x）的定义域为（－∞，0）∪，因而<

3，所以<

.此时t＝ax2－x在[3,4]上为增函数，故需y＝logat为增函数，所以a>

1.故选A.

12．（2017·

广西模拟）若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－4,0]∪[1,28）B．[－4,28]

C．[－4,0）∪（1,28]D．（－4,28）

设函数f（x）＝2x3－3x2＋a，f′（x）＝6x2－6x＝6x（x－1），x∈[－2,2]．令f′（x）>

0，则x∈[－2,0）∪（1,2]，令f′（x）<

0，则x∈（0,1），∴f（x）在（0,1）上单调递减，在[－2,0），（1,2]上单调递增，又f（－2）＝－28＋a，f（0）＝a，f

（1）＝－1＋a，f

（2）＝4＋a，∴－28＋a≤0<

－1＋a或a<

0≤4＋a，即a∈[－4,0）∪（1,28]．

二、填空题

13．已知函数f（x）＝alog2x＋blog3x＋2016，f＝4，则f（2017）＝________.

设F（x）＝f（x）－2016，则F＝alog2＋blog3＝－（alog2x＋blog3x）＝－F（x），所以F（2017）＝－F＝－（4－2016）＝2012，

f（2017）＝F（2017）＋2016＝4028.

4028

14．（2017·

枣庄模拟）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为________m.

设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400（0＜x＜40），当x＝20时，Smax＝400.

20

15．某生产厂商更新设备，已知在未来x（x>

0）年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系y＝4x2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为________．

＝4x＋≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时等号成立．

4

16．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．

若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，即y＝f（x）与y＝m有3个不同的交点，作出f（x）的图象和y＝m的图象，可得出m的取值范围是[0,1）．

[0,1）

B组——12＋4高考提速练

1．已知a，b∈R，则“log3a>

log3b”是“a<

b”的（　　）

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

由log3a>

log3b，得a>

b，从而a<

b，故为充分条件；

又由a<

b，得a>

b，但当a<

0，b<

0时，log3a，log3b无意义，因此不是必要条件．故选A.

高考北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）

（参考数据：

lg3≈0.48）

A．1033　　　　　　B．1053

C．1073D．1093

由题意，lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×

0.48－80×

1＝93.28.

又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，

故与最接近的是1093.

故选D.

3．（2017·

甘肃模拟）已知函数f（x）＝则f（1＋log25）的值为（　　）

A.B.1＋log25

C.D.

∵2<

log25<

3，∴3<

1＋log25<

4，则4<

2＋log25<

5，则f（1＋log25）＝f（1＋1＋log25）＝f（2＋log25）＝2＋log25＝×

log25＝×

＝，故选D.

4．（2017·

高考全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（　　）

A．f（x）在（0,2）单调递增

B．f（x）在（0,2）单调递减

C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f（x）的图象关于点（1,0）对称

f（x）的定义域为（0,2）．

f（x）＝lnx＋ln（2－x）＝ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x）．

设u＝－x2＋2x，x∈（0,2），则u＝－x2＋2x在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减．

又y＝lnu在其定义域上单调递增，

∴f（x）＝ln（－x2＋2x）在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减．

∴选项A，B错误．

∵f（x）＝lnx＋ln（2－x）＝f（2－x），

∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．

∵f（2－x）＋f（x）＝[ln（2－x）＋lnx]＋[lnx＋ln（2－x）]＝2[lnx＋ln（2－x）]，不恒为0，

∴f（x）的图象不关于点（1,0）对称，∴选项D错误．

故选C.

5．函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值是（　　）

A．－1B．2

C．3D．－1或2

由题知解得m＝2.故选B.

6．已知对任意的a∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是（　　）

A．（1,3）B．（－∞，1）∪（3，＋∞）

C．（1,2）D．（－∞，2）∪（3，＋∞）

x2＋（a－4）x＋4－2a＝（x－2）a＋x2－4x＋4.

令g（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由题知，当a∈[－1,1]时，g（a）>

0恒成立，则须即

解得x<

1或x>

3.故选B.

7．直线y＝x与函数f（x）＝的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．[－1,2）B．[－1,2]

C．[2，＋∞）D．（－∞，－1]

根据题意，直线y＝x与射线y＝2（x>

m）有一个交点A（2,2），并且与抛物线y＝x2＋4x＋2在（－∞，m]上有两个交点B，C.由解得B（－1，－1），C（－2，－2）．∵抛物线y＝x2＋4x＋2在（－∞，m]上的部分必须包含B，C两点，且点A（2,2）一定在射线y＝2（x>

m）上，才能使y＝f（x）图象与y＝x有3个交点，∴实数m的取值范围是－1≤m<

2，故选A.

8．（2017·

高考天津卷