四奥第3讲定义新运算教案文档格式.doc
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【学生乙】老师,我知道,根据已知的条件可以知道“△”表示的是△前面一个数乘以4减去后一个数乘以3的差。
【老师】好!
同学们掌声鼓励下,这位同学观察得非常仔细,只要我们找到了这个规律,那我们解决下面的问题还难吗?
!
我们一起来看看。
请同学们上黑板做,然后再一起规范过程
解:
因为a△b=4×
b
5△6=4×
5-3×
66△5=4×
6-3×
5
=20-18=24-15
=2=9
同学们确实很聪明,Ali看到这个都不知道该怎么办,但是我们能够很快的解决,不得不承认大家都是聪明的,但是同学们,你们有没有发现,“△”前后的数字交换后,结果就不一
样了,所以呢,今天Ali的困难也就是我们今天要学习的新内容“定义新运算”,它不同于我们所学的+、-、×
、÷
,赋予我们一种新的定义,在这一讲中,我们会学习利用一些特殊的符号,比如○、△、#、※、◎……,并利用+、-、×
定义一些新的运算规则。
接下来我们来看下Ali遇到的第二个问题是什么呢?
例2:
对于两个数a,b,规定a⊙b表示3×
a+2×
试计算
(1)3⊙2
(2)2⊙3
(3)(5⊙6)⊙7,5⊙(6⊙7)。
【老师】
(1)“⊙”被定义成了一种什么样的新运算呢?
【学生】⊙表示3乘以前一个数加上2乘以后一个数的和
【老师】好,很正确,看来同学们的眼睛都很厉害,这样下去老师得下台了~~~
第一问和第二问请两个同学上黑板做,其他同学在下面做。
(2)3⊙2和2⊙3的结果一样吗?
【学生】不一样!
【老师】所以老师在这里再一次强调,计算时要严格按照运算规则进行运算,不能随便交换符号前后两个数。
(5⊙6)⊙7的运算顺序是什么?
老师强调,在新运算里,有括号就先算括号(建议分步计算)
(1)3⊙2=3×
3+2×
2=13
(2)2⊙3=3×
2+2×
3=12
(3)在(5⊙6)⊙7中,应该先算括号里面的,所以建议大家分步算。
5⊙6=3×
5+2×
6=27,27⊙7=3×
27+2×
7=95
在5⊙(6⊙7)中,
6⊙7=3×
6+2×
7=32,5⊙32=3×
32=79
练一练:
定义新运算ab=a×
b+a+b,
(1)求62,26;
(答案:
20,20)
(2)求(12)3,1(23);
23,23)
【老师】Ali看到这些题目是越看越糊涂,完全不知道怎么办,这不,看到下面这个题目几乎傻眼,那我们也来看看是什么题目让Ali感觉那么困难。
例3:
例3、规定运算“☆”为:
若a>b,则a☆b=a+b;
若a=b,则a☆b=a-b+1;
若a<b,则a☆b=a×
b;
那么,2☆3+4☆4+7☆5等于多少?
【老师】这个题就有些复杂了,同学们先看看题目,然后请同学告诉我,你发现了什么?
【学生】老师,这个运算不统一
【老师】好,回答很正确,那又知不知道是怎么不统一的呢?
【学生】符号前后的数字需要比较大小,分情况讨论
老师学生:
怎么讨论?
当符号前面的数大于后面的数时,运算法则是两个数相加;
当符号前面的数等于后面的数时,符号前面的数减去后面的数再加上1;
当符号前面的数小于后面
的数时,运算法则是两数相乘。
2☆3+4☆4+7☆5
=2×
3+4-4+1+7+5
=6+1+12
=19
【老师】看来这些题目根本就难不倒聪明的你们,那老师出一个题目给你们练练。
设a、b都表示数,规定:
若a>b,a*b=3×
若a<b,a*b=a÷
3+b
那么(5*6)*7等于多少?
看来大家都掌握了,下面这个题目,老师想让同学们自己来当小老师,老师来当学生,给大家讲讲这个题目。
例4,对于任意两个不相等的自然数a和b,a⊙b表示a、b中较大的数除以较小的数
的余数,如:
13⊙5=3,23⊙7=2,求74⊙9,8⊙60,29⊙(36⊙8)。
解:
74÷
9=8……2,所以74⊙9=2
60÷
8=7……4,所以8⊙60=4
29⊙(36⊙8)先算括号,36÷
8=4……4,
36⊙8=4
所以29⊙(36⊙8)=29⊙4
29÷
4=7……1
29⊙4=1
29⊙(36⊙8)=1
【老师】看来大家都很有当老师的天赋,以后我们会经常请同学们上来展示。
例5:
规定:
a○b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),其中a、b表示自然
数。
求1○100等于多少?
【老师】同学们观察一下,这个题中的○被定义成了一种什么样的新运算?
可通过设
数法帮助学生分析或者可以直接把1和100代进定义即可发现规律。
【学生】a○b表示计算从a开始b个连续自然数的和。
【老师】规律发现了,那解决这个题海难不难?
【异口同声】不难!
【老师】不难还不赶紧写。
。
1○100=1+2+3+4+5……+100
=(1+100)×
100÷
2
=5050
如果1!
=1,2!
=1×
2=2,3!
2×
3=6,按此规律计算5!
5!
3×
4×
例6,假设1※5=1+11+111+1111+11111,2※4=2+22+222+2222,3※2=3+33,
那么6※4应等于什么?
2006※2又等于什么?
【老师】此题与之前题目的区别?
此题没有直接告诉※被定义成了什么样的新运算。
让学生回答
解:
6※4=6+66+666+6666=7404
2006※2=2006+20062006=20064012
6*2=6+66=72,2*3=2+22+222=246,1*4=1+11+111+1111=1234。
求7*5。
解:
7*5=7+77+777+7777+77777=86415
【老师】同学们都很不错,那敢不敢挑战一下老师给你们的题目呢?
【异口同声】敢!
例7,有一个运算符号“#”,使下列算式成立:
2#4=8,5#3=13,3#5=11,
9#7=25,求7#3。
【老师】咦,这个题好像和之前的大不一样,你能发现“#”被定义成了什么样的运算吗?
【学生】思索状。
【老师】提示:
2#4=8可以经过怎样的运算得到8呢,5#3=13,3#5=119#7=25呢?
【学生】老师我知道,2#4=2×
2+45#3=2×
5+3=133#5=2×
3+5=119#7=2×
9+7=25
【老师】好,很不错,那我们把这个规律用a、b来表示就是a#b=2×
a+b,显然7#3=2×
7+3=17
那同学们在自己做做,这个是什么规律呢?
有一个数学运算符号“▽”,使下列算式成立:
6▽2=12,4▽3=13,3▽4=15,5▽1=8。
按此规律计算:
8▽4。
分析:
a▽b=a+3×
b
8▽4=8+3×
4=20
例8、有A、B、C、D四种计算装置,装置A:
将输入的数乘以5;
装置B:
将输入的数
加3;
装置C:
将输入的数除以4;
装置D:
将输入的数减6。
这些装置可以连接,
如装置A后面连接装置B,写成A∮B,输入4,结果是23;
装置B后面接装置A,
就写成B∮A,输入4,结果是35;
(1)装置A∮C∮D连接,输入19,结果是多少?
(2)装置D∮C∮B∮A连接,输入什么数字,可得结果75?
【老师】这个题目呢,其实不难,大家往往会有一个误区,认为题目长的灰很难,在这里老师要告诉大家,老师最喜欢的就是题目长的,越长越喜欢,因为越长越简单,所以不要害怕,耐心的看下去,题目看透理解了,那就不难。
现在同学们认真看看题目。
我们一起看下,装置A:
将输入的数乘以5,
装置B:
将输入的数加3
装置C:
将输入的数除以4
装置D:
将输入的数减6
我们再看看,装置A后面连接装置B,写成A∮B
输入4,结果是23
也就是,A∮B=4×
5+3=23
那装置A∮C∮D连接,输入19,结果是多少呢?
A∮C∮D=19×
5÷
4-6
=17.5
不难吧,理解题意跟本就不是问题。
再看下第二问装置D∮C∮B∮A连接,输入什么数字,可得结果75?
我们想想,D∮C∮B∮A分别是将输入的数减去6后除以4然后加3,最后诚意5得到75,是不是就是我们之前所接触的还原法解题?
?
-6÷
4+3×
575
+648×
412-315÷
54
(75÷
5-3)×
4+6=54
所以输入的数字是54。
总结:
今天我们学习了利用一些特殊的符号,比如○、△、#、※、◎……,在+、-、×
的基础上定义一些新的运算规则,在解决这类问题时,关键是理解新运算的定义,并严格按新运算的要求进行运算,如果题目没有直接告诉我们符号的运算规则,我们可以观察条件,通过规律找到符号的运算规则。
同学们都很棒啊,Ali的困惑我们这么轻松就解决了,下面我们压迫学的内容大家有没有信心?
今天我们就上到这里,下节课再见。
作业:
1、喜羊羊和
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