学霸讲义中考提分课程第22讲圆的基本概念Word格式文档下载.docx
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定义①:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以O点为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.
定义②:
圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
(2)与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.
连接圆上任意两点的线段叫弦,经过圆心的弦叫直径,圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
(3)圆的基本性质:
①轴对称性.②中心对称性.
知识点2.垂径定理
(1)垂径定理
垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)垂径定理的推论
推论1:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论2:
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
推论3:
平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
知识点3.圆心角、弧、弦的关系
(1)定理:
在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
(2)推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
说明:
同一条弦对应两条弧,其中一条是优弧,一条是劣弧,而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧.
(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为:
在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性,即:
圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.
(4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,选择其有关部分.
知识点4.圆周角定理
(1)圆周角的定义:
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
注意:
圆周角必须满足两个条件:
①定点在圆上.②角的两条边都与圆相交,二者缺一不可.
(2)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°
的圆周角所对的弦是直径.
(3)在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角,这种基本技能技巧一定要掌握.
(4)注意:
①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角,在运用定理时不要忽略了这个条件,把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
二、专题精讲
例1:
1.(2015•诸城市二模)如图,AB是⊙O的直径,D、C在⊙O上,AD∥OC,∠DAB=60°
,连接AC,则∠DAC等于( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
【考点】圆的认识;
平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】首先利用同一圆的半径相等和平行线的性质得到∠DAC=∠CAB,然后利用已知角求解即可.
【解答】解:
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∵AD∥OC,
∴∠DAC=∠ACO,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠DAB=60°
,
∴∠DAC=∠DAB=30°
故选B.
【点评】本题考查了圆的认识及平行线的性质,属于基础题,比较简单.
2.(2015•泗洪县校级模拟)下列说法正确的是( )
A.三点确定一个圆
B.一个三角形只有一个外接圆
C.和半径垂直的直线是圆的切线
D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【考点】圆的认识.菁优网版权所有
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断;
根据切线的判定定理对C进行判断;
根据三角形内心的性质对D进行判断.
A、不共线的三点确定一个圆,所以A选项错误;
B、一个三角形只有一个外接圆,所以B选项正确;
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线,所以C选项错误;
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以D选项错误.
【点评】本题考查了圆的认识:
掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了确定圆的条件和切线的判定.
3.(2015秋•江阴市期末)下列说法错误的是( )
A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧
【专题】计算题.
【分析】根据直径的定义对A进行判断;
根据等弧的定义对B进行判断;
根据等圆的定义对C进行判断;
根据半圆和等弧的定义对D进行判断.
A、直径是圆中最长的弦,所以A选项的说法正确;
B、在同圆或等圆中,长度相等的两条弧是等弧,所以B选项的说法错误;
C、面积相等的两个圆的半径相等,则它们是等圆,所以C选项的说法正确;
D、半径相等的两个半圆是等弧,所以D选项的说法正确.
掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).
4.(2015秋•东台市期中)有下列四个说法:
①半径确定了,圆就确定了;
②直径是弦;
③弦是直径;
④半圆是弧,但弧不一定是半圆.
其中错误说法的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决.
①圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误;
②直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确;
③弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误;
④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.
其中错误说法的是①③两个.
故选:
B.
【点评】本题考查弦与直径的区别,弧与半圆的区别,及确定圆的条件,不要将弦与直径、弧与半圆混淆.
5.(2015秋•无锡期中)如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在弧MN上,且不与M,N重合,当P点在弧MN上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )
A.变大B.变小C.不变D.不能确定
勾股定理;
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【分析】连接OP,根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解.
∵直角△PAB中,AB2=PA2+PB2,
又∵矩形PAOB中,OP=AB,
∴PA2+PB2=AB2=OP2.
故选C.
【点评】本题考查的是圆的认识,涉及到矩形的性质定理以及勾股定理,正确作出辅助线是关键.
6.(2015秋•南江县校级期中)下列语句中,正确的是( )
A.长度相等的弧是等弧;
等弧对等弦
B.在同一平面上的三点确定一个圆
C.直径是弦;
半圆是劣弧
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
确定圆的条件;
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【分析】利用确定圆的条件、等弧的定义、圆的有关定义及三角形的外心的知识分别判断后即可确定正确的选项.
A、长度相等的弧不一定是等弧,故错误;
B、不在同一直线上的三点确定一个圆,故错误;
C、直径是圆中最长的弦,半圆既不是优弧也不是劣弧,故错误;
D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,故正确.
故选D.
【点评】本题考查了确定圆的条件、等弧的定义、圆的有关定义及三角形的外心的知识,是基础题,比较简单.
例2:
1.(2015•丰泽区校级质检)如图,MN为⊙O的弦,∠M=50°
,则∠MON等于 80°
.
【专题】数形结合.
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数,根据三角形的内角和定理可得所求角的度数.
∵OM=ON,
∴∠N=∠M=50°
∴∠MON=180°
﹣∠M﹣∠N=80°
故答案为80°
.
【点评】考查圆的认识;
利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点.
25.(2015春•高密市期末)若⊙O的半径为6cm,则⊙O中最长的弦为 12 厘米.
【分析】根据直径为圆的最长弦求解.
∵⊙O的半径为6cm,
∴⊙O的直径为12cm,
即圆中最长的弦长为12cm.
故答案为12.
2.(2015春•盐城校级期中)如图,⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D,BD=OA.若∠AOC=120°
,则∠D的度数是 20 .
等腰三角形的性质.菁优网版权所有
【分析】利用BD=AO=OB,结合等腰三角形的性质及内角和定理求解.
连接OB,
∵BD=OA,OB=OA,
∴BD=AO=OB,
∴△OBD,△OAB都是等腰三角形,
设∠D的度数是x,则∠BAO=∠ABO=x+x=2x,
则在△AOB中,利用三角形的内角得是180度,可得:
120﹣x+2x+2x=180,
解得x=20.
故答案为:
20.
【点评】本题主要是利用等腰三角形和三角形的内角得定理理清角与角的关系,然后列方程求解即可.
3.(2015秋•江苏校级期中)如图,⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,∠AOC=74°
,则∠E= ()°
【分析】利用半径相等得到DO=DE,则∠E=∠DOE,根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E,所以∠1=2∠E,同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E,然后利用∠E=∠AOC进行计算即可.
连结OD,如图,
∵OB=DE,OB=OD,
∴DO=DE,
∴∠E=∠DOE,
∵∠1=∠DOE+∠E,
∴∠1=2∠E,
∵OC=OD,
∴∠C=∠1,
∴∠C=2∠E,
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E,
∴∠E=∠AOC=×
74°
=()°
故答案是:
()°
掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质.
4.(2015秋•北京校级期中)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB、CD的延长线交于点E.若AB=2DE,∠E=18°
,则∠C的度数为 36°
【分析】根据AB=2DE得DE等于圆的半径,在△EDO和△CEO中,根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解.
连接OD,∵AB=2DE,
∴OD=DE,
∴∠E=∠EOD,
在△EDO中,∠ODC=∠E+∠EOD=36°
∴∠C=∠ODC=36°
36°
【点评】本题主要考查了三角形的外角和定理,外角等于不相邻的两个内角的和.
5.(2015秋•江南区校级期中)如图:
AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB、CD的延长线交于E点,已知AB=2DE,∠E=16°
,则∠AOC的
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- 讲义 中考 课程 22 基本概念