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附录二向量空间及其子空间
附录三两个线性方程组的解集的关系
附录四06,07年考题
1.线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
…………
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.
线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,…,kn)(称为解向量),它满足:
当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.
线性方程组的解的情况有三种:
无解,唯一解,无穷多解.
对线性方程组讨论的主要问题两个:
(1)判断解的情况.
(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.
b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.
n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:
唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组,简称导出组.
2.矩阵和向量
(1)基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.例如
2-1011
11102
254-29
333-18
是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵
a11a12…a1na11a12…a1nb1
A=a21a22…a2n和(A|β)=a21a22…a2nb2
…………………
am1am2…amnam1am2…amnbm
为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.
一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,,an的向量可表示成
a1
(a1,a2,,an)或a2,
┆
an
请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)
一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;
每一列是一个m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1,α2,,αn时(它们都是表示为列的形式!
)可记A=(α1,α2,,αn).
矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.
(2)线性运算和转置
线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.
加(减)法:
两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作
A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).
数乘:
一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:
加法交换律:
A+B=B+A.
加法结合律:
(A+B)+C=A+(B+C).
加乘分配律:
c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.
数乘结合律:
c(d)A=(cd)A.
cA=0c=0或A=0.
转置:
把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作AT(或A).
有以下规律:
(AT)T=A.
(A+B)T=AT+BT.
(cA)T=cAT.
转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时,αT表示行向量,当α是行向量时,αT表示列向量.
向量组的线性组合:
设α1,α2,…,αs是一组n维向量,c1,c2,…,cs是一组数,则称
c1α1+c2α2+…+csαs
为α1,α2,…,αs的(以c1,c2,…,cs为系数的)线性组合.
n维向量组的线性组合也是n维向量.
(3)n阶矩阵与几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)
下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.
对角矩阵:
对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
单位矩阵:
对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
数量矩阵:
对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.
上三角矩阵:
对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.
下三角矩阵:
对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.
对称矩阵:
满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.
(反对称矩阵:
满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)
3.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
矩阵有以下三种初等行变换:
交换两行的位置.
用一个非0的常数乘某一行的各元素.
把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)
类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.
阶梯形矩阵:
一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
如果它有零行,则都出现在下面.
如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.
简单阶梯形矩阵:
是特殊的阶梯形矩阵,特点为:
台角位置的元素为1.
并且其正上方的元素都为0.
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.
请注意:
1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.
2.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.
4.线性方程组的矩阵消元法
线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:
用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).
线性方程组的同解变换有三种:
交换两个方程的上下位置.
用一个非0的常数乘某个方程.
把某个方程的倍数加到另一个方程上.
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.
线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:
(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).
(2)用(B|)判别解的情况:
如果最下面的非零行为(0,0,,0|d),则无解,否则有解.
有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解;
r<
n时无穷多解.
(推论:
当方程的个数m<
n时,不可能唯一解.)
(3)有唯一解时求解的初等变换法:
去掉(B|)的零行,得到一个n×
(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.
对齐次线性方程组:
(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.
(2)用B判别解的情况:
非零行数r=n时只有零解;
n时有非零解(求解方法在第五章讲).(推论:
n时,有非零解.)
讨论题
1.设A是n阶矩阵,则
(A)A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.
(B)A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.
(C)A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.
(D)A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.
2.下列命题中哪几个成立?
(1)如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.
(2)如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.
(3)如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.
(4)如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.
(5)如果A是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.
B
一.概念复习
1.形式和意义
形式:
用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:
a11a12…a1n
a21a22…a2n
……….
an1an2…ann
如果行列式的列向量组为α1,α2,…,αn,则此行列式可表示为|α1,α2,…,αn|.
意义:
是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.
请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.
当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!
(不必形式一样,甚至阶数可不同.)
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.
行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.
2.定义(完全展开式)
2阶和3阶行列式的计算公式:
a11a12
a21a22=a11a22-a12a21.
a11a12a13
a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33.
a31a32a33
一般地,一个n阶行列式
………
的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:
这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2,…,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!
个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!
个项.
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j1j2…jn)为全排列j1j2…jn的逆序数(意义见下面),则项所乘的是
全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.
逆序数可如下计算:
标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:
τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.
至此我们可以写出n阶行列式的
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