苏教版八年级上册《轴对称图形》全章复习与巩固知识讲解提高Word格式.docx
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轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;
轴对称涉及两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的.联系:
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
2.线段的垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.
3.作轴对称图形
(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;
(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.
4.用坐标表示轴对称
点(,)关于轴对称的点的坐标为(,-);
点(,)关于轴对称的点的坐标为(-,);
点(,)关于原点对称的点的坐标为(-,-).
要点二、线段、角的轴对称性
1.线段的轴对称性
(1)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴.
(2)线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;
(3)线段垂直平分线的性质定理的逆定理:
到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线
2.角的轴对称性
(1)角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点三、等腰三角形
1.等腰三角形
(1)定义:
有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45°
.
(3)等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边”).
2.等边三角形
三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.
(2)等边三角形性质:
等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60°
.
(3)等边三角形的判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形;
②三个角都相等的三角形是等边三角形;
③有一个角为60°
的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【典型例题】
类型一、轴对称的性质与应用
1、如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴,来找三角形.
【答案】C;
【解析】先把田字格图标上字母如图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数.
△HEC与△ABC关于CD对称;
△FDB与△ABC关于BE对称;
△GED与△ABC关于HF对称;
关于AG对称的是它本身.所以共3个.
【总结升华】本题考查了轴对称的性质;
确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键.
举一反三:
【变式】如图,△ABC的内部有一点P,且D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角∠A=70°
,∠B=60°
,∠C=50°
,则∠ADB+∠BEC+∠CFA=( )
A.180°
B.270°
C.360°
D.480°
解:
连接AP,BP,CP,
∵D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点
∴∠ADB=∠APB,∠BEC=∠BPC,∠CFA=∠APC,
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°
.
2、已知∠MON=40°
,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数.
【思路点拨】求周长最小,利用轴对称的性质,找到P的对称点来确定A、B的位置,角度的计算,可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.
【答案与解析】
分别作P关于OM、ON的对称点,,连接交OM于A,ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.
∵∠MON=40°
∴∠=140°
.
∠=∠PAB,∠=∠PBA.
∴(∠PAB+∠PBA)+∠APB=140°
∴∠PAB+∠PBA+2∠APB=280°
∵∠PAB=∠+∠,∠PBA=∠+∠
∴∠+∠+∠=180°
∴∠APB=100°
【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型,将周长的三条线段的和转化为一条线段,这样取得周长的最小值.
【变式】如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°
,∠B=∠E=90°
,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为().
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
提示:
找A点关于BC的对称点,关于ED的对称点,连接,交BC于M
点,ED于N点,此时△AMN周长最小.∠AMN+∠ANM=180°
-∠MAN,而2∠BAM=
∠AMN,2∠EAN=∠ANM,∠BAM+∠EAN+∠MAN=120°
所以∠AMN+∠ANM=120°
3、如图,△ABC关于平行于轴的一条直线对称,已知A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,-4),则这条平行于轴的直线是( )
A.直线=-1B.直线=-3C.直线=-1D.直线=-3
【思路点拨】根据题意,可得A、C的连线与该条直线垂直,且两点到此直线的距离相等,从而可以解出该直线.
【解析】
由题意可知,该条直线垂直平分线段AC
又A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,-4)
∴AC=6
∴点A,C到该直线的距离都为3
即可得直线为=-1
【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用,解决此类题应认真观察图形,由A与C的纵坐标求得对称轴.
【变式1】如图,若直线经过第二、四象限,且平分坐标轴的夹角,Rt△AOB与Rt△关于直线对称,已知A(1,2),则点的坐标为( )
A.(-1,2)B.(1,-2)C.(-1,-2)D.(-2,-1)
【答案】D;
因为Rt△AOB与Rt△关于直线对称,所以通过作图可知,的坐标是(-2,-1).
【变式2】如图,ΔABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),点B的坐标为
(3,1),如果要使ΔABD与ΔABC全等,求点D的坐标.
【答案】
满足条件的点D的坐标有3个(4,-1);
(-1,-1);
(-1,3).
类型二、等腰三角形的综合应用
4、如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:
如图①,连接AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴=AB•PE,=AC•PF,=AB•CH.
又∵,
∴AB•PE+AC•PF=AB•CH.∵AB=AC,∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若∠A=30°
,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.
【答案】7;
4或10;
(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下:
∴=AB•PE,=AC•PF,=AB•CH,
∵=+,
∴AB•PE=AC•PF+AB•CH,
又∵AB=AC,
∴PE=PF+CH;
(2)∵在△ACH中,∠A=30°
,
∴AC=2CH.
∵=AB•CH,AB=AC,
∴×
2CH•CH=49,
∴CH=7.
分两种情况:
①P为底边BC上一点,如图①.
∵PE+PF=CH,
∴PE=CH-PF=7-3=4;
②P为BC延长线上的点时,如图②.
∵PE=PF+CH,
∴PE=3+7=10.
故答案为7;
4或10.
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使问题简便,
(2)中分情况讨论是解题的关键.
5、已知,如图,∠1=12°
,∠2=36°
,∠3=48°
,∠4=24°
.求的度数.
将沿AB翻折,得到,连结CE,
则,
∴∠1=∠5=12°
∴60°
∵48°
∴.
又∵∠2=36°
,72°
∴
∴BE=BC
∴为等边三角形.
又垂直平分BC.
∴AE平分.
∴30°
∴∠ADB=30°
【总结升华】直接求很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求.
【变式】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°
,D为形内一点,且∠DAB=∠DBA=10°
求∠ACD的度数.
【答案】
作D关于BC中垂线的对称点E,连结AE,EC,DE
∴△ABD≌△ACE
∴AD=AE,∠DAB=∠EAC=10°
∵∠BAC=80°
∴∠DAE=60°
,△ADE为等边三角形
∴∠AED=60°
∵∠DAB=∠DBA=10°
∴AD=BD=DE=EC
∴∠AEC=160°
∴∠DEC=140°
∴∠DCE=20°
∴∠ACD=30°
类型三、等边三角形的综合应用
6、如图所示,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形.
(1)如图
(1)所示,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?
点F是否在直线NE上?
(2)如图
(2)所示,当点M在BC上时,其他条件不变,
(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?
若成立,请利用图
(2)证明;
若不成立,请说明理由.
(1)EN
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