高中数学人教A版选修45创新应用教学案第四讲章末小结与测评Word文档格式.docx
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∴++…+
≤+
=
=·
<
≤=.
因此,原不等式成立.
\在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)成立”是问题的条件,而“命题P(k+1)成立”就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.
1.分析综合法
用数学归纳法证明关于正整数n的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.
求证:
++…+<
,n∈N+.
[证明]
(1)当n=1时,因为=<
1,所以原不等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,原不等式成立,即有++…+<
,
当n=k+1时,
++…++<
+.
因此,欲证明当n=k+1时,原不等式成立,
只需证明+<
成立.
即证明->
.
从而转化为证明>
也就是证明>
+,
即()2-(+)2
=k2+k+1-2
=[-1]2>
0,
从而>
于是当n=k+1时,原不等式也成立.
由
(1)、
(2)可知,对于任意的正整数n,原不等式都成立.
2.放缩法
涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.
1+++…+>
(n∈N+).
[证明]
(1)当n=1时,左边=1,右边=.
左边>
右边,∴不等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,
即1+++…+>
1+++…+++…+,\s\do4(2k-1项))>
+2k-1·
=.∴n=k+1时,不等式成立.
由
(1)、
(2)可知,1+++…+>
3.递推法
用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.
设0<
a<
1,定义a1=1+a,an+1=+a,
求证:
对一切n∈N+,有1<
an<
[证明] 用数学归纳法.
(1)当n=1时,a1>
1,又a1=1+a<
,显然命题成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,
即1<
ak<
当n=k+1时,由递推公式,知
ak+1=+a>
(1-a)+a=1,
同时,ak+1=+a<
1+a=<
当n=k+1时,命题也成立.即1<
ak+1<
综合
(1)、
(2)可知,对一切正整数n,有1<
4.学会借用同一题中已证明过的结论
在从k到k+1的过程中,若仅仅利用已知条件,有时还是没有证题思路,这时考查同一题中已证明过的结论,看是否可借用,这种“借用”思想非常重要.
设{xn}是由x1=2,xn+1=+(n∈N+)定义的数列,求证:
不等式<
xn<
+(n∈N+).
[证明] 受阻过程:
由于对于任意的k∈N+,xk+1=+>
2=.所以xn>
(n∈N+)显然成立.
下面证明:
(1)当n=1时,x1=2<
+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,
即xk<
那么,当n=k+1时,xk+1=+.
由归纳假设,xk<
则<
+,①
>
.②
因为①、②不是同向不等式,所以由递推式无法完成由k到(k+1)的证明,到此好像“山重水复疑无路”,证题思路受到阻碍.
受阻原因分析:
要利用递推式xk+1=+,只有找出关系式<
A,才有可能推导下去.
因此,只有寻觅出xk>
这样一个条件,才可以接通思路.当注意到前面已证明xn>
以后,问题就可以解决了.思路受阻的原因就在于不会借用前面已经证明的结论.事实上,
∵xk>
,∴<
∴xk+1=+<
++
=+≤+.即xk+1<
一、选择题
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步应验证( )
A.n=1B.n=2
C.n=3D.n=4
答案:
C
2.设f(n)=+++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)=( )
A.B.
C.+D.-
解析:
选D 由题意知f(n)=++…+,
f(n+1)=++…+++,
故f(n+1)-f(n)=+-
=+=-.
3.用数学归纳法证明1+≤1+++…+≤+n(n∈N+)成立,当n=1时,应验证( )
A.≤1+≤
B.≤1++≤
C.≤1++<
D.<
1+<
选A 当n=1时,左边=1+=,中间=1+=,右边=+1=.∴≤1+≤.
4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应该写成( )
A.假设当n=k(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
B.假设当n=2k(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
C.假设当n=2k+1(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
D.假设当n=2k-1(k∈N+)时,xk+yk能被x+y整除
选D 第k个奇数应是n=2k-1(k∈N+).
二、填空题
5.利用数学归纳法证明“…(1+)>
”时,n的最小取值n0为________.
n0=1时,1+不适合原式要求.
n0=2时,1+>
,再用数学归纳法证明.
2
6.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是f(k+1)=________.
∵f(k)=12+22+…+(2k)2,
∴f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2,
∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.
f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
7.用数学归纳法证明:
cosα+cos3α+cos5α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证n=1时,等式右边的式子是__________.
本题在n=1时,右边考查二倍角的正弦公式,右边===cosα.
cosα
8.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·
a-na+an+1·
an=0(n=1,2,3,…),则它的通项an=________.
法一:
分别令n=1,2,3求出a2=,a3=,通过不完全归纳法知an=.
法二:
对已知等式因式分解得
[(n+1)an+1-nan]·
(an+1+an)=0.
由an>
0知=,再由累乘法求得an=.
三、解答题
9.在数列{an}中,a1=a2=1,当n∈N+时,满足an+2=an+1+an,且设bn=a4n,求证:
{bn}各项均为3的倍数.
证明:
(1)∵a1=a2=1,故a3=a1+a2=2,a4=a3+a2=3.
∴b1=a4=3,当n=1时,b1能被3整除.
(2)假设n=k时,命题成立,即bk=a4k是3的倍数,则n=k+1时,
bk+1=a4(k+1)=a4k+4=a4k+3+a4k+2
=a4k+2+a4k+1+a4k+1+a4k
=a4k+a4k+1+a4k+1+a4k+1+a4k=3a4k+1+2a4k.
由归纳假设,a4k是3的倍数,3a4k+1是3的倍数,故可知bk+1是3的倍数,∴n=k+1时命题也正确.
综合
(1)、
(2)可知,对正整数n,数列{bn}的各项都是3的倍数.
10.用数学归纳法证明:
×
…×
对n∈N+时成立.
(1)当n=1时,<
,不等式成立.
(2)假设n=k时不等式成立.
即×
则n=k+1时,×
==
=<
==.即n=k+1时不等式成立.
由
(1)、
(2)知不等式对任意n∈N+都成立.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)判断是否为等差数列?
并证明你的结论;
(2)求Sn和an;
(3)求证:
S+S+…+S≤-.
解:
(1)S1=a1=,∴=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.∴-=2,
故{}是以2为首项,2为公差的等差数列.
(2)由
(1)得=2+(n-1)·
2=2n,Sn=(n∈N+),
当n≥2时,an=-2SnSn-1=-.
当n=1时,a1=∴an=
(3)证明:
①当n=1时,S==-,成立.
②假设n=k(k≥1,且k∈N+)时,不等式成立,
即S+S+…+S≤-成立,则当n=k+1时,
S+S+…+S+S≤-+
=-=-·
-·
=-.
即当n=k+1时,不等式成立.
由①,②可知对任意n∈N+不等式成立.
(时间:
90分钟 满分:
120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.设S(n)=+++…+,则( )
A.S(n)共有n项,当n=2时,S
(2)=+
B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S
(2)=++
C.S(n)共有n2-n项,当n=2时,S
(2)=++
D.S(n)共有n2-n+1项,当n=2时,S
(2)=++
选D S(n)共有n2-n+1项,S
(2)=++.
2.用数学归纳法证明“2n>
n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2 B.3 C.5 D.6
选C 取n0=1,2,3,4,5验证,可知n0=5.
3.用数学归纳法证明当n∈N+时1+2+22+…+22n=22n+1-1时,当n=1时左边为( )
A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23
选C 因为左边为2n+1项和,所以n=1时,左边=1+2+22.
4.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n,不等式…>
成立时,当n=2时验证的不等式是( )
A.1+>
B.>
C.≥
D.以上都不对
选A 当n=2时,左边=1+=1+,右边==,∴1+>
5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2,k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )
A.n=
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