东北师大附中届高三第五次模拟考试数学文科试题Word版含答案Word格式文档下载.docx
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现有一根金锤,长5尺,头部尺,重斤,尾部尺,重斤,且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,问中间三尺共重多少斤.¡
(A)6斤(B)7斤(C)斤(D)斤
(5)在区间上随机取两个数,记为事件的概率,则
(A)(B)(C)(D)
(6)在中,则
(A)(B)(C)(D)
(7)已知函数的最小正周期为,将的图象向右平移个单位长度,所得图象关于轴对称,则的一个值是
(A)(B)(C)(D)
(8)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积为
(A)(B)
(C)(D)
(9)执行如图所示的程序框图,如果输入的,
则输出的值的取值范围是
(A)或(B)
(C)或(D)或
(10)已知双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)
(11)直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点,若线段的长分别为,则的最小值是
(A)10(B)9(C)8(D)7
(12)已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
(13)若,则.
(14)已知实数满足,则目标函数的最小值为.
(15)棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是.
(16)已知函数,
①当时,有最大值;
②对于任意的,函数是上的增函数;
③对于任意的,函数一定存在最小值;
④对于任意的,都有.
其中正确结论的序号是____.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本题满分12分)
已知数列的前项和,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(18)(本题满分12分)
长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示职工月收入在区间内,单位:
元).
(Ⅰ)请估计该公司的职工月收入在内的概率;
(Ⅱ)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.
(19)(本题满分12分)
如图,四棱锥中,平面底面,△是等边三角形,底面为梯形,且,∥,.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求到平面的距离.
(20)(本题满分12分)
已知椭圆的离心率为,点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线交椭圆于另外一点,交轴于点,为椭圆上一点,且,求证:
为定值.
(21)(本题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间与极值;
(Ⅱ)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)求证:
.
(22)(本题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线C:
为参数)和定点,,是曲线C的左,右焦点.
(Ⅰ)求经过点且垂直于直线的直线的参数方程;
(Ⅱ)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.
(23)(本题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数().
(Ⅰ)若,求不等式的解集;
(Ⅱ)若,证明.
数学(文科)试题答案
一、选择题
CBADDABCCABD
二、填空题
13.14.15.16.②③
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)由得
所以当时,
当时,
所以
检验符合
(Ⅱ)由
(1)可知
所以.设数列的前项和为,则
所以数列的前项和为.
18.解:
(Ⅰ)职工月收入在内的概率为;
(Ⅱ)根据条件可知,从左至右小矩形的面积分别是、、、、、,因此,中位数的估计值为;
平均数的估计值为.
综上可知,中位数和平均数的估计值都是.
19.解:
(Ⅰ)由余弦定理得,
∴,∴,∴.
又平面底面,平面底面,底面,
∴平面,
又平面,∴.
(Ⅱ)设到平面的距离为
取中点,连结,∵△是等边三角形,∴.
又平面底面,平面底面,平面,
∴底面,且,
由(Ⅰ)知平面,又平面,∴.
∴,即¡
Á
2×
1×
解得.
20.解:
(Ⅰ)由题可得
所以椭圆程为.
(Ⅱ)设直线
,可得韦达定理:
则,
令直线为且令
得
可得韦达定理:
所以,
所以定值为.
21.解:
(Ⅰ)定义域为.
,令,得.
增
极大值
减
由上图表知:
的单调递增区间为,单调递减区间为.
的极大值为,无极小值.
(Ⅱ),令又
令解得,当x在内变化时,,变化如下表
x
)
+
↗
↘
由表知,当时函数有最大值,且最大值为,所以.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
又
即.
22.解:
(Ⅰ)圆锥曲线化为普通方程,
所以,,则直线的斜率,
于是经过点垂直于直线的直线的斜率,则直线的倾斜角是120°
,所以直线的参数方程是(为参数),即(为参数).
(Ⅱ)(方法一)直线的斜率,倾斜角是150°
,
设是直线上任一点,则,,
所以直线的极坐标方程:
(方法二)直线的斜率,倾斜角是150°
,,所以直线的直角坐标方程:
,即,化为极坐标方程:
23.解:
(Ⅰ)若,.∴当时,,不合题意;
当时,,由可解得,所以;
当时,,恒成立,所以.
所以不等式的解集为.
(Ⅱ)证明:
若,则
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