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杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。
组合关系以及不同横行数字之间的联系。
杨辉,字谦光,南宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。
同时,这也是多项式(a+b)^n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。
因此,杨辉三角第x层第y项直接就是(ynCrx)。
我们也不难得到,第x层的所有项的总和为2^(x-1)(即(a+b)^x中a,b都为1的时候)。
上述y^x指y的x次方,(anCrb)指组合数。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是要找规律。
简单的说,就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如(x+y)&
sup2;
=x&
+2xy+y&
,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的道理了。
这就是杨辉三角,也叫贾宪三角,在外国被称为帕斯卡三角(Pascal'
sTriangle)。
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。
如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去,
二、知识串讲
1.单项式
①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的系数是这个单项式的数字因数,作为单项式的系数,必须连同数字前面的符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
例1.在下列代数式:
中,单项式有【】
(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个
例2.单项式的次数是【】(A)8次(B)3次(C)4次(D)5次
例3.下列说法中正确的是【】
(A)代数式一定是单项式(B)单项式一定是代数式
(C)单项式x的次数是0(D)单项式-π2x2y2的次数是6。
例4.单项式的系数是,次数是。
2.多项式
①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项叫做常数项.
②一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
例5.在下列代数式:
中,多项式有【】
(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
例6.下列多项式次数为3的是【】
(A)-5x2+6x-1(B)πx2+x-1(C)a2b+ab+b2(D)x2y2-2xy-1
3.整式单项式和多项式统称为整式.
二.整式的加减
1.整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
2.括号前面是“-”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.
例7.化简:
(1)2a2-3ab+2b2-(2a2+ab-3b2)
(2)2x-(5a-7x-2a)
例8.减去-2x后,等于4x2-3x-5的代数式是什么?
例9.一个多项式加上3x2y-3xy2得x3-3x2y,这个多项式是多少?
三.同底数幂的乘法
1.同底数幂的乘法法则:
(m,n都是正数)
2.在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是:
幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式;
②指数是1时,不要误以为没有指数;
③当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为(其中m、n、p均为正数);
④公式还可以逆用:
(m、n均为正整数)
例10.=________,=______.毛
例11.=_________________.
例12.若,则m=________;
若,则a=__________。
例13.若,则=________.
例14.下面计算正确的是()
A.;
B.;
C.;
D.
四.幂的乘方与积的乘方
1.幂的乘方法则:
(m,n都是正数)。
2.积的乘方法则:
(n为正整数)。
3.幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
例15.=_________。
例16.若,则=_______。
例17.计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
数学笑话
我们都知道0是最小的自然数。
有一天,0看见了8,便说:
“哥们,今天为什么扎腰带。
”8脸红红地走了。
0又看见101,便同情地说:
“哥们,你真惨,双拐都架上了,真是可怜”101顿时火冒三丈,对0说:
“你不惨,到现在还是光棍一个。
看看人家10都成双成对了”。
0脸红了,便去找10评理。
他气愤地说:
“小样儿,傍了大款就以为我不认识你了”。
10委屈地哭了。
“1”对“7”说:
兄弟,你啥时候被人把腰打断了?
“7”对“1”说:
你啥时候被人把脑袋砍掉了?
“0”对“9”说:
别以为装大尾巴狼就能吓唬人。
“9”对“0”说:
别以为剪掉尾巴你就是个人物了。
“1”对“0”说:
说你啥也不是,你还不承认。
“0”对“1”说:
就你好,你要是出息咋一辈子打光棍呢?
“0”对“8”说:
朋友,你啥时候买了根裤腰带呢?
“8”对“0”说:
你也太穷了,裤子都掉了也不买根裤腰带。
“1”对“2”说:
你以为你隆了腰就了不起啦。
“2”对“1”说:
你都瘦成那样了还减肥呢?
五.同底数幂的除法
1.同底数幂的除法法则:
(a≠0,m、n都是正数,且m>
n).
2.在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.50=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的。
例18.计算=_______,=______.毛
例19.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.
例20.若有意义,则x_________.
例21.如果,则=________.
例22.若5x-3y-2=0,则=_________.
例23.计算:
(1)
(2)
六.整式的乘法
1.单项式与单项式相乘法则:
单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
2.单项式与多项式相乘法则:
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
3.多项式与多项式相乘法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
例24.计算:
(1)ab·
(-4ab)
(2)x·
(-5x-2y+1)(3)(a+1)(a-)
七.平方差公式
1.平方差公式:
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即。
2.结构特征:
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
例25.下列式中能用平方差公式计算的有()
①(x-y)(x+y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1)
A.1个B.2个C.3个D.4个
例26.利用平方差公式计算:
(1)(x+6)(6-x)
(2)毛(3)(a+b+c)(a-b-c)(4)
八.完全平方公式
1.完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即;
2.结构特征:
①公式左边是二项式的完全平方;
②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
例27.若x+mx+4是一个完全平方式,则m的值为。
例28.计算:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)9982
九.整式的除法
1.单项式除法单项式法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2.多项式除以单项式法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加。
例29.
(1)8a2b2c÷
_________=2a2bc.
(2)__________÷
例30.计算:
(1)
(2)
(2)(7x3-6x2+3x)÷
3x
(3)
三、信息反馈(拔高题专项练习)
1、若,则的值为。
2、在的积中,不想含有项,则必须为。
3、若,则=。
4、若是一个完全平方式,则的值为。
5、计算的结果是。
6、已知,则的值是。
7、若中不含有项,则,。
8、已知的值为。
9、若的值为。
10、已知的值为。
11、当=,=时,多项式有最小值,此时这个最小值是。
12、已知的结果是。
13、的个位数字是。
14、计算的结果是。
15、若的值是。
16、计算的结果为。
17、若的值为。
18、=。
19、若有意义,则的取值范围是。
20、若代数式的值为0,则,。
21、计算的结果为。
22、已知的值为。
23、多项式是一个六次四项式,则。
24、若代数式的值是8,则代数式的值为。
25、已知的值为。
26、已知的值等于。
27、如果,则的值为。
28、若的值为。
29、计算的结果为。
30、已知,则=。
31、已知=。
32、若的值为。
33、已知的值为。
34、若,则代数式的值为。
35、已知是一个完全平方式,则的值为。
36、若的值为。
37、若的值为。
38、已知,则的值是。
39、若的值为。
40、已知的值为。
第二章平行线与相交线
考点1:
余角、补角、对顶角
一、考点讲解:
1.余角:
如果两个角的和是,那么称这两个角互为余角.
2.补角:
如果两个角的和是,那么称这两个角互为补角.
3.对顶角:
如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.
4.互为余角的有关性质:
①∠1+∠2=90°
,则∠1、∠2互余.反过来,若∠1,∠2互余.则∠1+∠2=90○.
②同角或等角的余角相等,如果∠l十∠
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