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(3),其中a为正常数;
(4)
Wiener过程就是指Brown运动。
(1)令,由定义求得
具体在求的时候,可以先假设,然后再求(下同)。
(2)令,由定义求得
(3)
4、设随机过程,其中,且w为常数,X服从正态分布,,求过程的一维分布密度和协方差函数。
容易证明,,此即过程的一维分布。
由n维正态随机变量的性质,服从二维正态分布。
协方差阵等等也容易求。
5、设,已知二维随机变量(X,Y)的协防差矩阵为,求的协方差函数。
6、设有两个随机过程,为常数,服从上的均匀分布,求。
7、设,独立同分布,都服从N(0,1)的随机变量,证明为二阶矩过程,也是正态过程。
(易证,从略)
8、在独立重复试验中,若每次试验时事件A发生的概率都为,记为n次试验为止A发生的次数,证明是独立增量过程.
,令,则,
且,得证。
作业2(Poisson过程)
1、设是强度为的Poisson过程,令,其中L>
0为常数,求的一维分布,均值函数和相关函数。
,从而得到的一维分布(写出分布列即可);
由,易得
相关函数的稍微复杂点,但方法就是求期望,没特别的地方。
给出关键步骤,其他自己补齐。
2、设是强度为的Poisson过程,证明对于任意的,
证明:
3、通过路口的车流是一个泊松过程,设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2,求2分钟内有多于1辆车通过的概率。
记表示【0,t】内通过车辆数,则是Poisson过程,
4、设在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为其中为常数,如果任意两个时间间隔内呼叫次数是相互独立的,求在2t内呼叫n次的概率。
记A表示时间2t内呼叫n次的事件,记第一时间间隔内呼叫为,第二时间间隔内,于是
5、设随机变量X,Y相互独立,并分别服从参数为的泊松分布,证明
6、设是强度为的Poisson过程,
证明
综上,结论成立。
7、设是复合Poisson过程,,且服从(1000,2000)内的均匀分布,求X(t)的均值函数,方差函数和特征函数。
,其特征函数是
作业3(更新过程)
1、设是独立同分布的非负随机变量序列,且,以为更新时间间隔的更新过程,求以及更新函数。
设时间间隔服从几何分布,相当于在Bernoulli试验中第i次试验取得成功,
更新时刻相当于在Bernoulli试验中第k次试验取得第n次成功,即
所以
2、某控制器用一节电池供电,电池失效时立即更换同型号新电池,设电池寿命服从(30,60)(单位:
h)内的均匀分布,求长时间工作时,控制器更换电池的速率;
设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量,则在长时间工作的情况下,电池更新的速率为
而
3、设是更新过程,更新间距的概率密度函数是
求。
利用递推的方法,可求得
4、设是更新过程,更新间距,是它的更新函数,求
。
由于更新函数和更新过程唯一确定,于是由是它的更新函数,可知该更新过程为Possion过程。
从而更新间距相互独立同参数为的指数分布
那么
作业4(Markov过程)
一、计算题
1、设是齐次Markov链,其状态空间,一步转移概率为矩阵为
设初始分布为
求
(1);
(2)。
(1)
对于
(2)
当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方,然后找到对应元素求得。
2、考虑一个质点在直线上作随机游动,如果在某一个时刻质点位于状态,则下一步将以概率向前移动到达,或以向后移动到达,以表示n时刻质点的位置,且在0时刻从原点出发,则显然是一个Markov链。
求
(1)写出状态空间E;
(2)求一步转移概率矩阵;
(3)求n步转移概率矩阵。
(1)E=所有整数
(3)每次游动只有两种可能,向前概率为p,向后概率为q,n次移动的结果是由i到j,若在n次游动中向前次,向后次,则
3、设齐次Markov链的状态空间是,状态转移矩阵为
(1)对状态空间进行分解;
(2)求平稳分布。
仿照教材中的例题来做。
平稳分布
,其中
4、设齐次Markov链的状态空间是,状态转移矩阵为
其中,,问该Markov链是否为遍历链,为什么?
若是,求极限分布。
由,与,
种元素都大于0,说明3个状态互通,即具有相同的状态类型,由知道状态1为非周期态,于是3个状态都是正常返非周期态。
由于每个元素都大于0,从而该Markov链是遍历链,于是极限分布就是平稳分布,设平稳分布为,求解方程组
可得
5、设Markov链的状态空间是,转移概率矩阵为
其中,证明状态1为常返状态。
解
所以状态1为常返状态。
6、某厂的商品销售状态可分为三个:
分别用1,2,3表示滞销、正常和畅销,经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化与初始时刻无关,状态转移概率矩阵为
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
由一步转移概率矩阵可知状态互通,且,所以所有状态都是遍历状态,于是极限分布为平稳分布,设平稳分布为,求解方程组
即极限分布为
二、证明题
1、设为相互独立的随机变量,证明
(1)是Markov链;
(2)是Markov链。
(课堂讲过,答案略。
)
2、设某人有r把伞,分别放在家里和办公室里。
如果他出门遇到下雨(概率为),手边也有伞,他就带一把用,如果天晴他就不带伞,证明
长时间后,此人遇到下雨手边却无伞可用的概率。
令状态为此人身边所有的伞数,,则转移概率为
可知状态0,1,……,r互通,且每个状态周期都为1,因此存在平稳分布,此时平稳分布就是极限分布。
设平稳分布为,求解
得到
所以长时间后此人遇到下雨但无伞可带的概率为
3、设Markov链的状态空间是,转移概率为
(1)Markov链是常返的不可约的;
(2)Markov链是零常返的充分必要条件是;
(3)Markov链是正常返的充分必要条件是,且此时的平稳分布为。
(1)由于所有状态互通,所以所有状态具备相同的状态类型,又由于从而
,即状态0是常返的,所以整个马链也是常返的。
(2)注意到及其整个马链所有状态互通即得。
(3)类似于
(2),马链正常返的充要条件是
由于,所以利用得
由得
…………………………
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