计算方法简明教程插值法习题解析Word文档格式.docx
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用线性插值及二次插值计算的近似值。
由表格知,
若采用线性插值法计算即,
则
若采用二次插值法计算时,
3.给全的函数表,步长若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求近似值时的总误差界。
求解近似值时,误差可以分为两个部分,一方面,x是近似值,具有5位有效数字,在此后的计算过程中产生一定的误差传播;
另一方面,利用插值法求函数的近似值时,采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。
因此,总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当时,
令
取
当时,线性插值多项式为
插值余项为
又在建立函数表时,表中数据具有5位有效数字,且,故计算中有误差传播过程。
总误差界为
4.设为互异节点,求证:
(1)
(2)
证明
(1)令
若插值节点为,则函数的次插值多项式为。
又
由上题结论可知
得证。
5设且求证:
令,以此为插值节点,则线性插值多项式为
=
6.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长h应取多少?
若插值节点为和,则分段二次插值多项式的插值余项为
设步长为h,即
若截断误差不超过,则
7.若,
根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
8.如果是m次多项式,记,证明的k阶差分是次多项式,并且(为正整数)。
函数的展式为
其中
又是次数为的多项式
为阶多项式
依此过程递推,得是次多项式
是常数
当为正整数时,
9.证明
得证
10.证明
证明:
由上题结论可知
11.证明
12.若有个不同实根,
有个不同实根
且
而
13.证明阶均差有下列性质:
(1)若,则
(2)若,则
(1)
+
14.求及。
若
15.证明两点三次埃尔米特插值余项是
若,且插值多项式满足条件
由插值条件可知
可写成
其中是关于的待定函数,
现把看成上的一个固定点,作函数
根据余项性质,有
由罗尔定理可知,存在和,使
即在上有四个互异零点。
根据罗尔定理,在的两个零点间至少有一个零点,
故在内至少有三个互异零点,
依此类推,在内至少有一个零点。
记为使
其中依赖于
分段三次埃尔米特插值时,若节点为,设步长为,即
在小区间上
16.求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足
利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中,A为待定常数
从而
17.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与值,并估计误差。
则步长
在小区间上,分段线性插值函数为
各节点间中点处的与的值为
误差
得的驻点为和
18.求在上分段线性插值函数,并估计误差。
在区间上,
函数在小区间上分段线性插值函数为
误差为
19.求在上分段埃尔米特插值,并估计误差。
函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为
20.给定数据表如下:
Xj
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
Yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值,并满足条件:
由此得矩阵形式的方程组为
21M0
2M1
2M2
2M3
12M4
求解此方程组得
三次样条表达式为
将代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组,得
又三次样条表达式为
21.若是三次样条函数,证明:
若,式中为插值节点,且,则
从而有
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