高中数学 第一章 三角函数 11 12 角的概念的推广学案 北师大版必修4文档格式.docx
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2.角的概念的推广
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,称这样的角为零度角,又称零角
3.象限角的概念
(1)前提条件
①角的顶点与原点重合.
②角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)结论
角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
(3)各象限角的表示
第一象限:
S={α|k·
360°
<
α<
90°
+k·
,k∈Z};
第二象限:
S={α|90°
180°
第三象限:
S={α|180°
270°
第四象限:
S={α|270°
,k∈Z}.
(4)终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:
S={β|β=α+k×
,k∈Z}.
如图1-2-1所示:
图1-2-1
注意以下几点:
①k是整数,这个条件不能漏掉.
②α是任意角.
③k·
与α之间用“+”号连接,如k·
-30°
应看成k·
+(-30°
)(k∈Z).
④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.
(1)三角形的内角必为第一、二象限角.( )
(2)第三象限角一定比钝角大.( )
(3)始边相同,终边不同的角一定不相等.( )
【解析】
(1)当三角形的一个内角为90°
时,就不是第一、二象限角.
(2)第三象限角为负角时比钝角小.(3)据终边相同角的含义知,终边不同的角一定不相等.
(2)×
(3)√
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
_________________________________________________________
解惑:
___________________________________________________________
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
周期现象的判断
(1)下列变化中不是周期现象的是( )
A.“春去春又回”
B.钟表的分针每小时转一圈
C.天干地支表示年、月、日的时间顺序
D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数
(2)水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升.
【自主解答】
(1)由周期现象的概念易知,某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象.故选D.
【答案】 D
(2)因为1小时=60分钟=12×
5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转一圈,最多盛水16×
10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×
12=1920(升).
1.应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的.
2.只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”,就可以把问题转化到一个周期内来解决.
[再练一题]
1.如图1-2-2所示是某人的心电图,根据这个心电图,请你判断其心脏跳动是否正常.
图1-2-2
【解】 观察图像可知,此人的心电图是周期性变化的,因此心脏跳动正常.
角的概念
下列结论:
①锐角都是第一象限角;
②第二象限角是钝角;
③小于180°
的角是钝角、直角或锐角.
其中,正确结论的序号为________.(把正确结论的序号都写上)
【导学号:
66470000】
【精彩点拨】 根据任意角、象限角的概念进行判断,正确区分第一象限角、锐角和小于90°
的角.
【自主解答】 ①锐角是大于0°
且小于90°
的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,所以①正确;
②480°
角是第二象限角,但它不是钝角,所以②不正确;
③0°
角小于180°
,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以③不正确.
【答案】 ①
判断角的概念问题的关键与技巧
1.关键:
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
2.技巧:
判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.
2.(2016·
咸阳高一检测)下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°
的角都是锐角
【解析】 终边相同的角不一定相等,故A不正确;
钝角一定是第二象限角,故B正确;
因-330°
是第一象限角,因而C不正确;
-45°
,但它不是锐角,所以D不正确.
【答案】 B
[探究共研型]
象限角表示
探究1 如果把象限角定义中的“角的始边与x轴的非负半轴重合”改为“与x轴的正半轴重合”行不行,为什么?
【提示】 不行.因为始边包括端点(原点).
探究2 是不是任意角都可以归结为是象限角?
为什么?
【提示】 不是.一些特殊角终边可能落在坐标轴上.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
探究3 终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角,请完成下表.
α终边所在的位置
角α的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
【提示】 x轴正半轴:
{α|α=k·
,k∈Z},
x轴负半轴:
+180°
y轴正半轴:
+90°
y轴负半轴:
+270°
已知α为第二象限角,问2α,分别为第几象限的角?
【精彩点拨】 由角α为第二象限角,可以写出α的范围:
(k∈Z),在此基础上可以判断2α,的范围,进而可以判断出它们所在的象限.
【自主解答】 ∵α是第二象限角,
∴90°
(k∈Z).
∴180°
+2k·
2α<
∴2α是第三或第四象限角,以及终边落在y轴的负半轴上的角.
同理,45°
+·
①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z).
则45°
+n·
(k∈Z),
此时为第一象限角;
②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z).
则225°
(n∈Z).
此时为第三象限角,
综上可知,为第一或第三象限角.
3.本例中,是第几象限角?
【解】 ∵α为第二象限角.
∴30°
60°
①当k=3n(n∈Z)时,
30°
.
此时,为第一象限角;
②当k=3n+1(n∈Z)时,
150°
此时,为第二象限角;
③当k=3n+2(n∈Z)时,
300°
此时,为第四象限角.
综上可知,为第一或第二或第四象限角.
终边相同的角
探究4 在同一坐标系中作出390°
,-330°
,30°
的角并观察,这三个角终边之间的关系?
角的大小关系?
【提示】如图所示,三个角终边相同,相差360°
的整数倍.
探究5 对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?
【提示】 所有与角α终边相同的角连同α在内,可以构成一个集合.S={β|β=α+k·
,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角整数倍的和.
已知α=-1910°
(1)把α写成β+k·
(k∈Z,0°
≤β<
)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°
≤θ<
0°
【精彩点拨】 利用终边相同的角的关系β=α+k·
,k∈Z.
【自主解答】
(1)-1910°
=250°
-6×
,其中β=250°
,从而α=250°
+(-6)×
,它是第三象限的角.
(2)令θ=250°
取k=-1,-2就得到满足-720°
的角,
即250°
-360°
=-110°
,250°
-720°
=-470°
所以θ为-110°
,-470°
终边相同的角相差360°
的整数倍.判定一个角在第几象限,只要在0°
~360°
范围内找与它终边相同的角,即把这个角β写成β=α+k×
(0°
≤α<
)(k∈Z)的形式,判断角α是第几象限角即可.
4.在与角10030°
终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)360°
~720°
【解】
(1)与10030°
终边相同的角的一般形式为β=k·
+10030°
(k∈Z),由-360°
k·
,得-10390°
-10030°
,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°
(2)由0°
,得-10030°
-9670°
,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°
(3)由360°
≤k·
720°
,得-9670°
-9310°
,解得k=-26,故所求的角为β=670°
[
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