小学数学奥数基础教程(四年级)--21Word格式文档下载.doc
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例1小明要登上10级台阶,他每一步只能登1级或2级台阶,他登上10级台阶共有多少种不同的登法?
分析与解:
登上第1级台阶只有1种登法。
登上第2级台阶可由第1级台阶上去,或者从平地跨2级上去,故有2种登法。
登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去,或者从第2级台阶上去,所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和,共有1+2=3(种)……一般地,登上第n级台阶,或者从第(n—1)级台阶跨一级上去,或者从第(n—2)级台阶跨两级上去。
根据加法原理,如果登上第(n—1)级和第(n—2)级分别有a种和b种方法,则登上第n级有(a+b)种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法,就可以依次推算出登上以后各级的方法数。
由登上第1级有1种方法,登上第2级有2种方法,可得出下面一串数:
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。
其中从第三个数起,每个数都是它前面两个数之和。
登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个,即89。
也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数(见下图)。
例2在左下图中,从A点沿实线走最短路径到B点,共有多少条不同路线?
题目要求从左下向右上走,所以走到任一点,例如右上图中的D点,不是经过左边的E点,就是经过下边的F点。
如果到E点有a种走法(此处a=6),到F点有b种走法(此处b=4),根据加法原理,到D点就有(a+b)种走法(此处为6+4=10)。
我们可以从左下角A点开始,按加法原理,依次向上、向右填上到各点的走法数(见右上图),最后得到共有35条不同路线。
例3左下图是某街区的道路图。
从A点沿最短路线到B点,其中经过C点和D点的不同路线共有多少条?
本题可以同例2一样从A标到B,也可以将从A到B分为三段,先是从A到C,再从C到D,最后从D到B。
如右上图所示,从A到C有3种走法,从C到D有4种走法,从D到B有6种走法。
因为从A到B是分几步走的,所以应该用乘法原理,不同的路线共有
3×
4×
6=72(条)。
例4沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法?
如右上图所示,先标出到C点的走法数,再标出到D点和E点的走法数,然后标出到F点的走法数,最后标出到B点的走法数。
共有8种不同的走法。
例5有15根火柴,如果规定每次取2根或3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?
为了便于理解,可以将本题转变为“上15级台阶,每次上2级或3级,共有多少种上法?
”所以本题的解题方法与例1类似(见下表)。
注意,因为每次取2或3根,所以取1根的方法数是0,取2根和取3根的方法数都是1。
取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和,即0+1=1。
依此类推,取n根火柴的方法数是取(n-3)根与取(n-2)根的方法数之和。
所以,这串数(取法数)中,从第4个数起,每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。
取完15根火柴共有28种不同取法。
练习21
1.小明要登15级台阶,每步登1级或2级台阶,共有多少种不同登法?
2.小明要登20级台阶,每步登2级或3级台阶,共有多少种不同登法?
3.有一堆火柴共10根,每次取走1~3根,把这堆火柴全部取完有多少种不同取法,
4.在下图中,从A点沿最短路径到B点,共有多少条不同的路线?
5.左下图是某街区的道路图,C点和D点正在修路不能通过,那么从A点到B点的最短路线有多少条?
6.右上图是八间房子的示意图,相邻两间房子都有门相通。
从A点穿过房间到达B处,如果只能从小号码房间走向大号码房间,那么共有多少种不同的走法?
答案与提示练习
1.987种。
2.114种。
3.274种。
提示:
取走1根有1种方法,取走2根有2种方法,取走3根有4种方法。
将1,2,4作为数列的前三项,从第4项起每项都是它前三项的和,得到
1,2,4,7,13,24,44,81,149,274。
第10项274就是取走10根火柴的方法数。
4.56条。
5.48条(见下图)。
6.55种。
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- 小学 数学 基础教程 四年级 21