长沙9年中考 第25课时 点直线与圆的位置关系Word格式文档下载.docx
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(2)求证:
BD平分∠ABO;
(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为⊙M的切线,求此时点E的坐标.
第6题图7.(2013长沙22题8分)如图,△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点D,∠DBC=∠BAC
BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=30°
,求图中阴影部分的面积.
第7题图
8.(2016长沙24题9分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB、DC、DF.
(1)求∠CDE的度数;
DF是⊙O的切线;
(3)若AC=2DE,求tan∠ABD的值.
第8题图
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点.
AB是⊙O的直径;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明;
(3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°
,求DE的长.
第9题图
10.(2016郴州)如图,OA,OD是⊙O半径,过A作⊙O的切线,交∠AOD的平分线于点C,连接CD,延长AO交⊙O于点E,交CD的延长线于点B.
直线CD是⊙O的切线;
(2)如果D点是BC的中点,⊙O的半径为3cm,求的长度.(结果保留π)
第10题图
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,D是AC中点,⊙O过A、B、D,CB延长线交⊙O于E.
AE=CE;
(2)EF与⊙O相切于E,交AC延长线于F,若CD=CF=2,求⊙O的直径;
(3)若CF=CD,求sin∠CAB.
第11题图
12.(2017娄底)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E是AC的中点,OE交CD于点F.
(1)若∠BCD=36°
,BC=10,求的长;
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)求证:
2CE2=AB·
EF.
第12题图答案
1.35 【解析】∵PC是⊙O的切线,OC是经过切点的半径,∴OC⊥PC,又∵∠P=20°
,∴∠COP=70°
.∵∠COP是△AOC的一个外角,由外角的性质以及OC=OA,得∠A=∠COP=35°
2.
(1)证明:
如解图,连接BD,
∵D是的中点,
∴=,
∴∠A=∠ABD,
∴AD=BD.(2分)
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°
,∠A+∠C=90°
,∠ABD+∠DBC=90°
,
∴∠C=∠DBC,
∴BD=DC,
∴AD=DC;
……(4分)
(2)解:
如解图,连接OD交AB于点F,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE.……(5分)
∵=,OD过圆心,
∴OD⊥AB,
又∵AB⊥BC,
∴四边形FBED为矩形,
∴∠DEC=90°
又∵DE=EC,
∴∠C=45°
,……(7分)
∴sinC=.……(8分)
3.
(1)证明:
如解图,连接OE,
∵AC是⊙O的切线,
∴OE⊥AC,
又∵∠ACB=90°
即BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠OED=∠F.(2分)
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∴∠ODE=∠F,……(3分)
∴BD=BF;
设⊙O的半径为r,由OE∥BC得△AOE∽△ABC,
∴=,即=,
∴r2-r-12=0,解得r1=4,r2=-3(舍),……(7分)
∴S⊙O=πr2=16π.……(8分)
4.
(1)证明:
如解图,连接OD,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,(1分)
又∵点O是AB的中点,点D是BC的中点,
∴OD是△ABC的中位线,……(2分)
∴OD∥AC,……(3分)
∴DE⊥AC;
如解图,连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°
又∵D是BC的中点,
∴BD=DC.
∵AD=AD,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS),
∴AB=AC.……(5分)
∵AB=3DE,
∴AC=3DE.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=∠DEA=90°
∵∠CAD+∠C=∠EDC+∠C=90°
∴∠CAD=∠EDC,
∴△ADE∽△DCE,
∴=,即DE2=AE·
EC.……(6分)
设DE=nEC,则AC=3nEC,AE=AC-EC=(3n-1)EC,
∴(nEC)2=(3n-1)EC·
EC,……(7分)
即n2-3n+1=0,
解得n=,
∵与都是正数,
∴均符合题意,……(8分)
又∵在Rt△DEC中,tan∠ACB==n,
∴tan∠ACB=n=.……(9分)
5.
(1)证明:
如解图,连接OC,
∵AB与⊙O相切于点C,
∴OC⊥AB,
∴∠ACO=∠BCO=90°
∵=,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OC=OC,
∴△OAC≌△OBC(ASA),
∴OA=OB;
由
(1)知△OAC≌△OBC,
∴AC=BC=AB=2,
∵在Rt△OAC中,OA=4,AC=2,
∴由勾股定理得OC==2,……(6分)
∵sinA===,
∴∠A=30°
∴∠AOC=60°
∴∠EOC=∠AOC=60°
∴S阴影=S△OCB-S扇形OCE=×
2×
2-=2-.……(9分)
6.
(1)解:
根据题意可得,OA=,OB=,⊙M经过原点O,
∵∠AOB=90°
∴AB为⊙M的直径,
∴在Rt△AOB中,AB===2,
∴⊙M的半径为AB=;
……(3分)
(2)证明:
∵∠COD与∠DBA是⊙M上所对的圆周角,
∴∠COD=∠DBA,
又∵∠COD=∠CBO,
∴∠CBO=∠DBA,
∴BD平分∠ABO;
……(6分)
(3)解:
如解图,过点A作⊙M的切线,交BD的延长线于点E,过点E作y轴的垂线,垂足为点H,
∵EA⊥AB,EH⊥BH,
∴∠EAB=∠EHB=90°
又∵BE=BE,∠ABE=∠HBE,
∴△BEA≌△BEH(AAS),
∴BH=BA=2,
∴OH=BH-OB=.……(7分)
∵在Rt△AOB中,tan∠ABO===,
∴∠ABO=60°
∴∠CBO=30°
在Rt△BHE中,tan∠HBE=tan30°
==,
∴HE=BH=×
2=.
∵EH∥x轴,
∴点E的坐标是(,).……(9分)
7.
(1)证明:
,∠ABD+∠BAC=90°
.……(2分)
∵∠DBC=∠BAC,
∴∠ABD+∠DBC=90°
,……(3分)
,即AB⊥BC,
又∵AB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线;
如解图,连接OD,
∵∠BAC=30°
∴∠BOD=2∠BAC=60°
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,……(6分)
∴S阴影=S扇形OBD-S△OBD=-×
=-.……(8分)
8.
(1)解:
∵AC为⊙O的直径,
,∴∠CDE=90°
;
……(2分)
(2)证明:
∵在Rt△CDE中,F为CE边的中点,
∴DF=CF=CE,
∴∠FDC=∠FCD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD,
即∠ODF=∠OCF.……(3分)
∵EC⊥AC,
∴∠OCF=90°
∴∠ODF=90°
,即OD⊥DF,……(4分)
∵OD为⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线;
……(5分)
∵∠ACE=90°
,∠ADC=90°
∴∠CAD+∠E=90°
,∠DCE+∠E=90°
∴∠CAD=∠DCE,
又∵∠ADC=∠CDE=90°
∴△ADC∽△CDE,
∴=,即CD2=AD·
DE.……(6分)
∵AC=2DE,
∴令DE=a,AD=b,则AC=2a,CD=,
在Rt△ACD中,由勾股定理可得:
b2+()2=(2a)2,
解得=4或=-5(舍去),……(8分)
∴tan∠ABD=tan∠ACD====2.……(9分)
9.
(1)证明:
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°
∴AB是⊙O的直径;
DE与⊙O相切.
证明:
连接OD,如解图,
∵点O,D分别是BA,BC的中点,
∴OD∥AC.
∴DE⊥OD,
∴DE与⊙O相切;
当∠BAC=60°
时,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∵AB=6,
∴BD=3,
∴AD=3.
∵AC·
DE=CD·
AD,
∴6×
DE=3×
3,
∴DE=.
10.
(1)证明:
∵CA切⊙O于点A,
∴∠CAO=90°
∵OC平分∠AOD,
∴∠AOC=∠DOC,
在△AOC和△DOC中,
∴△AOC≌△DOC(SAS),
∴∠CDO=∠CAO=90°
∵OD是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
由
(1)知:
OD⊥BC,
∴OD是BC的垂直平分线,
∴OC=OB,
∴∠BOD=∠DOC=∠COA,
∴∠DOE=60°
∴的长度为=πcm.
11.证明:
(1)连接DE,∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直径,
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC,
又∵D是AC的中点,
∴DE是AC的垂直平分线,
∴AE=CE;
在△ADE和△AEF中,
∵∠ADE=∠AEF=90°
,∠DAE=∠FAE,
∴△ADE∽△AEF,
∴AE=2,
∴⊙O的直径为2;
∵AE=CE,ED⊥AC,
∴∠CAB=∠DEC=∠DEA,
∴sin∠CAB=sin∠DE
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