上海市重点高中数学第一轮复习资料三函数及其性质Word文档下载推荐.docx

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能在新的情境中综合的、灵活的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。

4、函数的基本性质。

一、知识点归纳：

第一个点：

什么是函数？

在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f（x），，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；

和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

小提示：

1、函数的三要素：

定义域、值域、对应法则。

2、理解关键字“任意”：

在定义域中，对于一个确定的x，这个x是定义域内的任意一个值。

3、对应法则的理解：

对应法则是某一种运算规律。

etc:

（1）、的对应法则为取平方。

（2）、的对应法则为乘2加1。

4、理解关键字“唯一”：

通过运算，只能得到一个确定的值。

从对应的观点来看，有两种对应可以成为函数：

一对一和多对一。

图示：

Xyxy

一对一多对一

但是有一种情况不是函数：

Xy

一对多

第二个点：

反函数的定义。

对于函数y=f（x），设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数，记作，习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为

对于反函数来讲，我们对反函数和函数的定义加以区分，函数的定义是任取一个x，都有唯一的一个y与其对应，体现出的对应形式是一对一和多对一，但是对于反函数只有一对一才有反函数，而多对一不存在反函数，如果唯一的一个x对应唯一的y，这样能判断是否存在反函数。

另外，反函数还存在一个重要的性质：

函数的图象和它的反函数的图象是以直线y=x为对称轴的轴对称图形。

说明：

函数为互为反函数。

第三个点：

两个函数的和与积。

已知两个函数

和函数。

积函数。

第四个点：

奇函数与偶函数。

1、奇函数：

如果对于函数f（x）的定义域D内的任意实数a，都有f（-a）=-f（a），那么，称函数f（x）为奇函数。

2、偶函数：

如果对于函数f（x）的定义域D内任意实数a，都有f（-a）=f（a），那么称f（x）为偶函数。

1、我们可以发现奇函数和偶函数的区分在于比较自变量a与-a的函数值关系，奇函数为相反值，偶函数为相等的关系。

2、函数定义域D关于原点对称是这个函数为奇函数（偶函数）的必要条件。

关于原点对称：

、。

不关于原点对称的：

。

4、图像：

奇函数的图象关于原点对称；

偶函数的图象关于y轴对称。

偶函数奇函数

第五个点：

研究函数的单调性（增函数和减函数）。

对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值,

（1）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是增函数。

（2）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是减函数。

（3）、如果函数f（x）在这个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在这一区间是单调函数，这个区间叫做函数f（x）的单调区间。

1、单调函数所具有的增或减是个符号特点，具备一般性，例如要验证增函数，不能验证在区间内的两个特殊值，只能验证在区间上的两个符号,如果当都有，这是增函数。

如果当都有，这是减函数。

增函数（）减函数（）

2、我们发现，两个函数的值大小是广义的概念而不是特殊的，如何选取有大小的时候来比较的大小，我们就要善于使用不等式的性质（做差比较法和做商比较法）。

判断函数在指定区间A上的单调性的过程图示:

设元：

设，且。

使符号在区间A内，并规定大小。

做差：

做差比较大小（同时我们也可以做商比较大小）。

变形：

使比较大小。

如果使做差比较大小：

>

=0

<

如果是做商比较大小：

1

=1

定论：

增函数还是减函数。

定论的依据：

（1）、当时，都有，那么就说函数f（x）在这个区间上是增函数。

第六个点：

周期函数。

对于函数，如果存在一个非零实数T，使得x取D内的每一个值时，都有等式f（x+T）=f（x），那么这个函数f（x）叫做周期函数，常数T叫做函数f（x）的周期。

1、只有非零实数T，才能得到的等式为f（x+T）=f（x）。

2、对于一个周期函数f（x）来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期。

（周期函数会在三角函数中详解）

相关周期函数的图像。

随堂讲解练习指导：

1、求下列函数的定义域：

2、求下列函数的值域：

3、已知f（x）和g（x）分别是一个奇函数和一个偶函数，且试比较f

（1）、g（0）、g（-2）的大小。

、

4、已知函数的反函数，记，求g（x）的最小值。

5、判断下列函数的奇偶性：

6、已知函数,求函数f（x）的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.

7、若函数在上为增函数，求实数a、b的取值范围。

8、已知函数，常数．

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．

9、若的图象与X轴有且只有一个交点，则实数a的值等于

__________

10、对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做函数的下确界，设有函数试问：

该函数是否有下确界，若有，求出的值，若没有，就填写没有。

___1

11、设，

①判断并证明的奇偶性；

1分别计算的值，并判断它们之间的关系，由此推出一个一般的关系式并给出证明；

2由②所得的一般结论，判断是否与已经学过的什么公式类似？

若是，试写出一个。

对照学过的公式，关于还能得到什么与②不同的关系式？

若存在，请你写出其中的一个。

12、设y=f（x）为R上的奇函数，且对于都有f（x+2）=-f（x）.

（1）证明:

f（x）为周期函数;

（2）证明:

x=1为对称轴;

（3）若当时,,写出时,f（x）的解析式;

（4）对于（3）中的f（x）,若非空,求实数a的取值范围.