yAsinωx+φ的图象及应用Word文档格式.docx
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π
2π
y=Asin(ωx+φ)
A
-A
(2)作图:
在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展:
将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.
由y=Asin(ωx+φ)的图象确定第一个零点的方法
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点作为突破口.具体如下:
“第一点”为ωx+φ=0;
“第二点”为ωx+φ=;
“第三点”为ωx+φ=π;
“第四点”为ωx+φ=;
“第五点”为ωx+φ=2π.
2.函数y=Asin(ωx+φ)中各量的物理意义
当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示简谐振动时,几个相关的概念如下表:
简谐振动
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
T=
f=
φ
3.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径
[小题诊断]
1.(优质试题·
高考全国卷Ⅰ)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
解析:
函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,所得图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.
答案:
D
2.(优质试题·
长沙质检)将函数y=cos2x的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象对应的函数解析式是( )
A.y=-sin2xB.y=-cos2x
C.y=2sin2xD.y=-2cos2x
y==cosy=cos+1,即y=cos(2x+π)+1=1-cos2x=2sin2x.
C
3.函数y=sin在区间上的简图是( )
令x=0,得y=sin=-,排除B、D.由f=0,f=0,排除C.
4.(优质试题·
高考全国卷Ⅲ)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到.
因为y=sinx+cosx=2sin,y=sinx-cosx=2sin,
所以把y=2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y=2sin的图象.
◆易错通关◆
1.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.
2.由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为,而不是|φ|.
[小题纠偏]
要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos2x的图象( )
A.向左平移1个单位
B.向右平移1个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
∵y=cos(2x+1)=cos,
∴只要将函数y=cos2x的图象向左平移个单位即可.
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 互动探究 重点保分考点——师生共研
[典例]
(1)(优质试题·
高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
(2)(优质试题·
景德镇测试)已知函数f(x)=4cosx·
sin+a的最大值为2.
①求a的值及f(x)的最小正周期;
②在坐标系上作出f(x)在[0,π]上的图象.
(1)易知C1:
y=cosx=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2.
(2)①f(x)=4cosxsin+a
=4cosx·
+a
=sin2x+2cos2x+a
=sin2x+cos2x+1+a
=2sin+1+a的最大值为2,
∴a=-1,最小正周期T==π.
②由①知f(x)=2sin,列表:
2x+
f(x)=2sin
1
2
-2
画图如下:
(1)D
(2)见解析
用“五点法”作图的注意点
(1)将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式.
(2)求出周期T=.
(3)求出振幅A.
(4)列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点和区间端点.
[即时应用]
1.要得到函数f(x)=2sinxcosx,x∈R的图象,只需将函数g(x)=2cos2x-1,x∈R的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
f(x)=2sinxcosx=sin2x.对于A选项,因为函数g(x)=cos2x,x∈R的图象向左平移个单位长度可得y=cos2=cos(2x+π)=-cos2x的图象,所以A选项不符合题意;
对于B选项,因为函数g(x)=cos2x,x∈R的图象向右平移个单位长度可得y=cos2=cos(2x-π)=-cos2x的图象,所以B选项不符合题意;
对于选项C,因为函数g(x)=cos2x,x∈R的图象向左平移个单位长度可得y=cos2=cos=-sin2x的图象,所以C选项不符合题意;
对于D选项,因为函数g(x)=cos2x,x∈R的图象向右平移个单位长度可得y=cos2=cos=sin2x的图象,所以D选项符合题意.故选D.
2.为得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( )
A. B.
C.D.
由题意可知,m=+2k1π,k1为非负整数,n=+2k2π,k2为非负整数.∴|m-n|=|-+2(k1-k2)π|,∴当k1-k2=1时,|m-n|min=.
考点二 由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式 互动探究 重点保分考点——师生共研
吉林实验中学模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,- B.2,-
C.4,-D.4,
(2)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,0≤φ<2π),则温度变化曲线的函数解析式为________.
(1)由题意及图象知=-=,
∴T=π,ω=2,
∵图象过点B,∴2×
+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ,k∈Z,
又∵-<φ<,∴φ=-.
(2)由图象可知b=20,A==10,
=14-6=8,T=16=,解得ω=.
将(6,10)代入y=10sin+20,
可得sin=-1,
由0≤φ<2π可得φ=,
∴y=10sin+20.
(1)A
(2)y=10sin+20
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b:
确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;
(2)求ω:
确定函数的周期T,则可得ω=;
(3)求φ:
常用的方法有:
①代入法:
把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f
(1)的值为( )
A.- B.-1
C.1D.
根据题中所给图象可知,函数f(x)的最小正周期T=2×
(+)=2,A=2,ω==π,f()=2sin(π×
+φ)=-2,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin(πx+π),所以f
(1)=2sin(π+)=-1,故选B.
B
2.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B,则f(x)=________.
由已知得=,∴T=,
又T=,∴ω=3.
∵f(0)=1,∴sinφ=,
又∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin(经检验满足题意).
2sin
考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 多维探究 题点多变考点——多角探明
[锁定考向] 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质是命题的热点,常将函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、解析式的求法与性质综合在一起.各种题型均有考查,难度中档,归纳起来常见的命题角度有:
(1)图象变换与性质的综合.
(2)解析式的求法与性质的综合.(3)图象与性质的综合应用.
角度一 图象变换与性质的综合
1.将函数y=3sin的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为( )
A. B.
将函数y=3sin的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度,可得函数y=3sin=3sin的图象.由2x-=kπ,k∈Z,可得x=+,k∈Z,故所得函数图象的对称中心为,k∈Z.令k=1可得一个对称中心为.故选A.
2.将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.B.
将函数f(x)=2cos2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,得g(x)=2cos2=2cos.由-π+2kπ≤2x-≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
当k=0时,函数的单调递增区间为,当k=1时,函数的单调递增区间为.要使函数g(x)在区间和上均单调递增,则解得a∈.故选A.
角度二 解析式的求法与性质的综合
3.(优质试题·
银川模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻
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- 关 键 词:
- yAsin 图象 应用