高中数学人教A版选修11导数及其应用含答案解析Word格式.docx
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5.已知函数f(x)=xlnx,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( )
A.1B.-1
C.±
1D.不存在
6.过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( )
A.2x+y-1=0B.x-2y+2=0
C.x+2y-2=0D.2x-y+1=0
7.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图1所示,则y=f(x)( )
图1
A.在(-∞,0)上为减函数
B.在x=0处取得极小值
C.在(4,+∞)上为减函数
D.在x=2处取极大值
8.若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.a>B.a≥
C.a<D.a≤
9.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( )
A.10B.15
C.25D.50
10.函数y=的最大值为( )
A.e-1B.e
C.e2D.
11.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f
(2)<
2f
(1)B.f(0)+f
(2)>
2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≤2f
(1)D.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
12.若函数f(x)在(0,+∞)上可导,且满足f(x)>-xf′(x),则一定有( )
A.函数F(x)=在(0,+∞)上为增函数
B.函数F(x)=在(0,+∞)上为减函数
C.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增函数
D.函数G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减函数
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
14.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为________.
15.若函数f(x)=ln|x|-f′(-1)x2+3x+2,则f′
(1)=________.
16.当x∈[-1,2]时,x3-x2-x<
m恒成立,则实数m的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1与直线l:
4x-y-1=0平行,且点P0在第三象限.
(1)求点P0的坐标;
(2)若直线l2⊥l1,且l2也过点P0,求直线l2的方程.
【解】
(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1.
令3x2+1=4,解得x=±
1.
当x=1时,y=0;
当x=-1时,y=-4.
又点P0在第三象限,
∴切点P0的坐标为(-1,-4).
(2)∵直线l2⊥l1,l1的斜率为4,
∴直线l2的斜率为-.
∵l2过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),
∴直线l2的方程为y+4=-(x+1),即x+4y+17=0.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
【解】
(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,
因为f(x)在x=-处取得极值,
所以f′=0,
即3a·
+2·
=-=0,解得a=.
(2)由
(1)得,g(x)=ex,
故g′(x)=ex+ex
=ex
=x(x+1)(x+4)ex.
令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.
当x<
-4时,g′(x)<
0,故g(x)为减函数;
当-4<
x<
-1时,g′(x)>
0,故g(x)为增函数;
当-1<
0时,g′(x)<
当x>
0时,g′(x)>
0,故g(x)为增函数.
综上知,g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.
19.(本小题满分12分)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x),求g(x)的单调区间和最小值.
【解】 由题意知f′(x)=,g(x)=lnx+,
∴g′(x)=.
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间.
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间.
因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.
所以g(x)的最小值为g
(1)=1.
20.(本小题满分12分)(2014·
重庆高考)已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【解】
(1)对f(x)求导得f′(x)=--,
由y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x知
f′
(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由
(1)可知f(x)=+-lnx-,
则f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=-1或x=5.
因x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,舍去.
当x∈(0,5)时,f′(x)<
0,故f(x)在(0,5)内为减函数;
当x∈(5,+∞)时,f′(x)>
0,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.
由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln5,无极大值.
21.(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2.其中3<
6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解】
(1)因为x=5时,y=11,
所以+10=11,a=2.
(2)由
(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)·
=2+10(x-3)(x-6)2,3<
6.
从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
+
-
f(x)
42
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,f′
(1)=0,曲线y=f(x)在原点处的切线与直线y=2x+3的夹角为135°
.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值.
【解】
(1)由题意,有f(0)=c=0,
f′(x)=3x2+2ax+b且f′
(1)=3+2a+b=0,①
又曲线y=f(x)在原点处的切线的斜率k=f′(0)=b,而直线y=2x+3与此切线所成的角为135°
,所以=-1.②
联立①②解得a=0,b=-3,所以f(x)=x3-3x.
(2)|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立等价于
|f(x)max-f(x)min|≤m,由于2sinα∈[-2,2],2sinβ∈[-2,2],故只需求出f(x)=x3-3x在[-2,2]上的最值,而f′(x)=3x2-3,由f′(x)=0得x=±
1,列表如下:
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
所以f(x)max=2,f(x)min=-2,所以|f(x)max-f(x)min|=4≤m,所以m的最小值为4.
【解析】 f′(x)=(α2-cosx)′=sinx,当x=α时,f′(α)=sinα.
【答案】 A
【解析】 y′=-,由-=-4,得x2=,从而x=±
,分别代入y=,得P点的坐标为或.
【答案】 B
【解析】 观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x).
【答案】 D
【解析】 由f(x)=ax4+bx2+c得f′(x)=4ax3+2bx,又f′
(1)=2,所以4a+2b=2,f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.故选B.
【解析】 因为f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.
7.过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( )
【解析】 y′=′==,
∴y′|x=3=-,故与切线垂直的直线斜率为2,
所求直线方程为y-1=2x,
即2x-y+1=0.故选D.
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- 高中 学人 选修 11 导数 及其 应用 答案 解析