河北省保定市届高三下学期第一次模拟考试数学理试题含答案Word格式.docx
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7.如图所示的程序框图中,输出的为()
8.已知函数既是二次函数又是幂函数,函数是上的奇函数,函数,则()
A.0B.2018C.4036D.4037
9.如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为()
A.B.C.D.
10.已知向量,向量,函数,则下列说法正确的是()
A.是奇函数B.的一条对称轴为直线
C.的最小正周期为D.在上为减函数
11.已知双曲线的左顶点为,虚轴长为8,右焦点为,且与双曲线的渐近线相切,若过点作的两条切线,切点分别为,则()
A.8B.C.D.
12.令,函数,满足以下两个条件:
①当时,或;
②,,,则实数的取值范围是()
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上
13.的展开式中的系数是5,则.
14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题,当他们都把自己的答案公布出来之后,
甲说:
我做错了;
乙说:
丙做对了;
丙说:
我做错了.
在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说:
“你们三个人中有一个人做对了,有一个说对了.”
请问他们三个人中做对了的是.
15.已知实数满足,若取得最小值时的最优解满足,则的最小值为.
16.已知分别为的三个内角的对边,,且,为内一点,且满足,则.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.已知数列满足:
,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,且.求数列的通项公式,并求其前项和.
18.某品牌服装店五一进行促销活动,店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性,约定打折办法如下:
有两个不透明袋子,一个袋中放着编号为1,2,3的三个小球,另一个袋中放着编号为4,5的两个小球(小球除编号外其它都相同),顾客需从两个袋中各抽一个小球,两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数(如,一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2,5,则该顾客所习的买衣服打7折).要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知三位顾客各买了一件衣服.
(1)求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率;
(2)两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服,设为打折后两位顾客的消费总额,求的分布列和数学期望.
19.如图,四棱台中,底面,平面平面为的中点.
(1)证明:
;
(2)若,且,求二面角的正弦值.
20.椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上任一点,为其右焦点,是椭圆的左、右顶点,点满足.
①证明:
为定值;
②设是直线上的任一点,直线分别另交椭圆于两点,求的最小值.
21.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若有两个极值点,证明:
.
(二)选考题:
共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;
多涂、多答,按所涂的首题进行评分;
不涂,按本选考题的首题进行评分.
22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线与相交于两点,且.
(1)求的值;
(2)直线与曲线相交于,证明:
(为圆心)为定值.
23.已知函数.
(1)解关于的不等式;
(2)若函数,当且仅当时,取得最小值,求时,函数的值域.
试卷答案
一、选择题
1-5:
DABBB6-10:
ACDCD11、12:
DB
二、填空题
13.-114.甲15.916.3
三、解答题
17.解:
(1)由知
数列为等差数列,且首项为1,公差为,所以;
(2)∵,
∴,∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
,从而,
,,
∴,
所以.
18.解:
打5,6,7,8折的概率分别为,
(1)事件为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”,
所以;
(2)的可能取值为2000,2200,2400,2600,2800,3000,3200,
,,,
,,
所以的分布列为
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
元.
19.
(1)证明:
连接,
∵为四棱台,四边形四边形,
∴,由得,,
又∵底面,∴四边形为直角梯形,可求得,
又为的中点,所以,
又∵平面平面,平面平面,
∴平面平面,
∴;
(2)解:
在中,,利用余弦定理可求得,或,由于,所以,从而,知,
如图,以为原点建立空间直角坐标系,,
由于平面,所以平面的法向量为,
设平面的法向量为,,,
设,所以,
,
即二面角的正弦值为.
20.解:
(1)由得,
把点代入椭圆方程为,∴得,
∴,椭圆的标准方程为;
(2)由
(1)知,
而,∴为定值;
②设若,则,
若,因为,
直线,直线,
由整理得,
∴,得,
由①知,
∵(当且仅当即时取等号)
∴,即的最小值为3.
21.解:
(1),
令,
①即时,,故恒成立,所以在上单调递增;
②当即时,恒成立,所以在上单调递增;
③当时,由于的两根为,
所以在为增函数,在为减函数,
综上:
时,函数在为增函数;
时,函数在为增函数,在为减函数;
(2)由
(1)知,且,
而,
设,则,
所以在上为减函数,又,所以,
22.
(1)解:
直线和圆的普通方程分别为,
,∴直线过圆的圆心,所以;
(2)证明:
曲线,可知直线的参数方程为(为参数)代入曲线得,恒成立,
设两点对应的参数分别为,则,
所以为定值.
23.解:
①,②,
所以,不等式的解集为;
(2),
当且仅当时取等号,∴,
得,
∴,故当时,
所以在时的值域为.
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