小学奥数技巧.03.解几何题技巧附答案Word文件下载.docx
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(三)解几何题技巧
1.等分图形
【均分整体】有些几何问题,只要把大图形均分为若干个小图形,就能找到问题的答案。
例如,下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形(内接指四个顶点全在三角形的边上)。
已知左图(图4.11)中正方形面积为72平方厘米,求右图(4.12)中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同,我们不妨把这两个图形进行等分,看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
等分后的情况见图4.13和图4.14。
积是
图4.12的正方形面积是
【均分局部】有些几何问题,整体的均分不太方便,或不能够办到,这时可以考虑把它的局部去均分,然后从整体上去观察,往往也能使问题获得解决。
例如图4.15,在正方形ABCD中,画有甲、乙、丙三个小正方形。
问:
乙、丙面积之和与甲相比,哪一个大些?
大家由前面的“均分整体”已经知道,像甲、乙这样的两个正方形,面积不是相等的。
如图4.16,经过等分,正方形甲的面积等于△ABC面积的一半;
正方形丙的面积等于△EDF的一半,正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。
这样,一个大正方形ABCD,就划分成了三个局部:
等腰直角△ABC;
等腰梯形ACFE;
等腰直角△EDF。
其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半,而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积,即等于△ABC的面积。
所以,乙、丙面积之和等于甲的面积。
2.平移变换
【平移线段】有些几何问题,通过线段的上、下、左、右平移以后,能使问题很快地得到正确的解答。
例如,下面的两个图形(图4.17和图4.18)的周长是否相等?
单凭眼睛观察,似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。
但把有关线段平移以后,图4.18就变成了图4.19,其中的线段,有的上移,有的左移,有的右移,它可移成一个正方形。
于是,不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题,采用平移空白部分或平移阴影部分的办法,往往能化难为易,很快使问题求得解答。
例如,计算图4.20中阴影部分的面积。
圆面积”,然后相加,得整个阴影部分的面积。
这显然是很费时费力的。
但认真观察一下就会发现,图4.20左半左上部的空白部分,与右半左上部的阴影部分大小一样,只需将右半左上部的阴影部分,平移到左半左上部的空白部分,所有的阴影部分便构成一个正方形了(如图4.21)。
所以,阴影部分的面积很快就可求得为5×
5=25。
又如,一块长30米,宽24米的草地,中间有两条宽2米的走道,把草地分为四块,求草地的面积(如图4.22)。
这只要把丙向甲平移靠拢,把丁向乙平移靠拢,题目也就很快能解答出来了。
(具体解法略)
3.旋转变换
【旋转成定角】例如下面的题目:
“在图4.23中,半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形,圆内正方形顶点都在圆周上,圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。
“大正方形的面积比小正方形的面积大多少?
”
按一般方法,先求大、小正方形的面积,再求它们的差,显然是有难度的。
若将小正方形围绕圆心旋转45°
,使原图变成图4.24,容易发现,小正方形的面积为大正方形面积的一半。
所以,大正方形面积比小正方形的面积大
(8×
2)×
(8×
2)÷
2
=16×
16÷
=128(平方厘米)
又如,如图4.25,求正方形内阴影部分的面积。
(单位:
厘米)
表面上看,题目也是很难解答的。
但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心,分别按顺时针和逆时针方向旋转90°
,就得到了一个由阴影部分组成的半圆(如图4.26),于是,阴影部分的面积就很容易解答出来了。
(解答略)
【开扇式旋转】有些图形相互交错,增加了解答的难度。
若像打开折扇一样,绕着某个定点作“开扇式”旋转,往往会使人顿开茅塞,使问题很快获得解决。
例如,求图4.27的阴影部分的面积(单位:
厘米)。
若采用正方形面积减空白部分面积的求法,
计算量是很大的。
由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的,我们不妨把右下部的扇形打开,顺时针方向旋转90°
,得到图4.28;
再继续旋转,得到图4.29。
在图4.29中,阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。
所以,阴影部分面积是
42×
3.14÷
2-(4+4)×
4×
=25.12-16
=9.12(平方厘米)
又如,求图4.30阴影部分的面积(单位:
将这个图从中间剪开,以o为旋转中心,将右半部分按顺时针方向转到左半部下方,便变成了图4.31。
于是,阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。
即
(4÷
2)2×
2-2×
2÷
=6.28-2
=4.28(平方厘米)
4.对称变换
【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题:
从A地出发到河边饮马,再到B地(如图4.32所示),走什么样的路最近?
如何确定饮马的地点?
海伦的方法是这样的:
如图4.33,设L为河,作AO⊥L交L于O点,延长AO至A',使A'O=AO。
连结A'B,交L于C,则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC,则路程(AC+CB)为最短的路程。
为什么呢?
因为A'是A点关于L的对称点,AC与A'C是相等的。
而A'B是一条线段,所以A'B是连结A'、B这两点间的所有线中,最短的一条,所以AC+CB=A'C+CB=A'B也是最短的一条路了。
这就是海伦运用对称变换,找到的一种最巧妙的解题方法。
运用这种办法,可以巧妙地解决许多几何问题。
【划线均分】通过中心对称图形的对称中心,任意画一条直线,都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。
利用这一性质,可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。
例如
(1)把图形(图4.34)的面积,用一条直线分成相等的两个部分。
解题时,只要把这个图形看成是由两个矩形(长方形)组成的组合图形,而矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形,所以只要找出两个对称中心(对角线交点),利用中心对称图形的上述性质,通过两个对称中心作一条直线,就能把它的面积分成相等的两个部分了。
如前页的三种分法都行(如图4.35所示)。
(2)如图4.36,长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆,请画一条直线,同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。
大家知道,长方形和圆都既是轴对称图形,又是中心对称图形。
长方形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质,先找出这两个对称中心O点和P点(如图4.37),再过O、P作直线L,此直线L即是所画的那根直线。
5.割补、拼接、截割
【割补】在数学中,把图形的某个部分割下,补到某一个新的位置,往往可以使新的图形,更便于发现数量关系,从而较快地解答出数学题目。
例如,在图4.38中,三个圆的面积都是12.56平方厘米,且三个圆两两相交,三个交点都是圆心,求三块阴影部分的面积。
从表面上看,题目是无法解答的。
但只要仔细观察就能发现,根据轴对称性及割补方法,题目可作如下的解答:
如图4.39,将图形1翻折到图形2的位置;
再将图形3和4割下来,合并在一起,补到图形5的位置上。
于是,原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。
所以,三块阴影部分的面积是12.56÷
2=6.28(平方厘米)
【拼接,截割】
(1)平面图形的拼接、截割。
拼接和截割,是两个相反的过程。
平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起;
平面图形的截割,是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。
平面几何图形拼接或截割以后,面积和周长的变化有以下规律:
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形,它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和;
而周长却会比原图形周长之和要短。
如果拼接部分的总长度为a,那么拼接后减少的周长就是2a。
②把一个平面几何图形截割以后,各小块图形的面积之和,等于原图形的面积;
但截割后各小块几何图形的周长之和,要比原图形的周长要长。
若所有截割部分长度为a,那么截割后增加的长度就是2a。
依据这一规律,可快速地解答一些几何问题。
例如,如图4.40,正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形,每个长方形周长都是48厘米,求正方形的周长。
解题时,可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的,三个小长方形的拼接部分,都是小长方形的长,长度等于大正方形的“边长”。
拼接以后的图形(大正方形)的周长,比原来的三个小长方形的周长之和,要减少4个“边长”,而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。
这就是说,三个小长方形的周长之和里,刚好包含有两个大正方形的周长。
所以,正方形的周长是
48×
3÷
=144÷
=72(厘米)
(2)立体图形的拼接、截割。
立体几何图形拼接或截割以后,它的体积和表面积的变化,有以下规律:
①两个或两个以上的几何体,拼接成一个新几何体以后,它的体积等于原来若干个几何体体积之和;
但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。
如果重叠部分为S,那么减少的面积就是2S。
②把一个几何体截割以后,各部分的体积之和等于原几何体体积;
但截割后的表面积之和,却大于原几何体的表面积。
如果其中的截割面积为S,那么,增加的表而积就是2S。
依据这一规律,可以较快地解答出某些题目。
例如,如图4.41,把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体(不计损耗),表面积会增加多少平方厘米?
因为正方体木块的截割面积为5×
5=25(平方厘米),依据上面的规律可知,表面积会增加
25×
2=50(平方厘米)
又如,把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体,表面会增加多少平方厘米?
由于此题未交代从何处下手截割,所以要分三种情况来解答题目。
①如图4.42左图的截法,表面积会增加。
5×
6×
2=30×
2=60(平方厘米)
②如图4.42中图的截法,表面积会增加。
10×
2=60×
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- 小学 技巧 03. 几何 答案
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