人教版数学中考《直线与圆的位置关系》专题复习精品教案Word文档下载推荐.docx
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过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线。
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
注意:
证明圆的切线必须满足两个条件:
(1)点
A
在圆上,
(2)过点
的半径与直线垂直。
【核心归纳】
在解题过程中,如果有“圆的切线”这个条件,我们常用的方法
是连接切点与圆心,构造直角三角形,记住口诀“见切点,连半径”,它是解
决有关切线问题的重要辅助线。
三角形的内切圆:
与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三
角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。
【核心突破】
名称确定方法
图形
性质
外心(三角
形外接圆
的圆心)
三角形三边中
垂线的交点
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在
三角形的内部。
2
内心(三角
形内切圆
三角形三条角
平分线的交点
(1)到三边的距离
相等;
(
)OA
、OB
、
OC
分
别
平
∠BAC
、
∠ABC、∠ACB;
(3)内心在三角形
内部。
3.
切线长定理
切线长:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫
做这点到圆
的切线长。
切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
如下图:
圆外一点
P
与圆
相切于
D,E
两点,所以有
PD=PE,可以通过连
接
OP
来证明。
圆心和圆外一点的连线平分圆经过这个点的两条切线的夹角。
典例精析
例题
如图,矩形
ABCD
的长为
6,宽为
3,点
为矩形的中心,⊙O
的半
12
径为
1,O
⊥AB
于点
P,O
=6.若⊙O
绕点
按顺时针方向旋转
360°
,在旋
12122
转过程中,⊙O
与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()
2
A.
3
次B.
4
次C.
5
次D.
6
次
思路分析:
根据题意作出图形,直接写出答案即可.
答案:
如图,⊙O
与矩形的边只有一个公共点的情况一共出
现
次,故选
B.
A
D
O
P
1
B
C
技巧点拨:
本题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是了解当圆与直
线相切时,点到圆心的距离等于圆的半径。
2如图,直线
AB
相切于点
A,弦
CD∥AB,E,F
为圆上的两点,
且∠CDE=∠ADF.若⊙O
,CD=4,则弦
EF
的长为()
4B.
5
C.
D.
6
首先连接
OA,并反向延长交
CD
H,连接
OC,由直线
与
⊙O
CD∥AB,可求得
OH
的长,然后由勾股定理求得
AC
的长,又
由∠CDE=∠ADF,可证得
EF=AC,继而求得答案。
连接
OC,
∵直线
A,∴OA⊥AB,
∵弦
CD∥AB,∴AH⊥CD,∴CH=
CD=
×
4=2,
22
∵⊙O
,∴OA=OC=
,∴OH=
OC
CH
=
,
222
∴AH=OA+OH=
+
=4,∴AC=AH
=2
⋂⋂⋂
故选
此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理
等知识。
此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,及掌握数形结合思想的应用。
3如图
1,AB
是⊙O
的直径,点
C
在
的延长线上,AB=4,BC=2,
上半部分的一个动点,连接
OP,CP。
(1)求△OPC
的最大面积;
(2)求∠OCP
的最大度数;
(3)如图
2,延长
PO
交⊙O
D,连接
DB,当
CP=DB
时,求证:
CP
是⊙O
的切线.
(1)在△OPC
中,底边
的长度固定,因此只要
边上的高
最大,则△OPC
的面积最大;
观察图形,当
OP⊥OC
时满足要求;
(2)PC
与⊙O
相切时,∠OCP
的度数最大,根据切线的性质即可求得;
(3)连接
AP,BP,通
过△ODB≌△BPC
可求得
DP⊥PC,从而求得
PC
的切线。
(1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4.
在△OPC
中,设
边上的高为
h,
∵S
OPC
OC•h=2h,∴当
h
最大时,S
△OPC
取得最大值.
时,h
最大,如答图
所示:
此时
h=半径=2,S=2×
2=4.∴△OPC
的最大面积为
4。
(2)当
最大。
如答图
∵sin∠OCP=
,∴∠OCP=30°
∴∠OCP
的最大度数为
30°
OC2
⋂⋂
⎧BC
=
OB
=∠ABD=∠C,在△ODB
与△BPC
中
⎪CP
BD,∴ODB≌△BPC(SAS),∴∠D
⎩
=∠BPC,∵PD
是直径,∴∠DBP=90°
,∴∠D+∠BPD=90°
,∴∠BPC+∠BPD
=90°
,∴DP⊥PC,∵DP
经过圆心,∴PC
本题考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作
出辅助线构建直角三角形是解题的关键。
提分宝典
【综合拓展】
顶点与切点间的线段长和三角形三边的关系
如图,⊙I
切△ABC
三边于点
D、E、F,则
AD=AF=
(AB+AC-BC),BD
=BE=
(AB+BC-AC),CE=CF=
(AC+BC-AB)。
特别地,当∠C
是直角时,
如图所示,四边形
CEIF
是正方形,内切圆半径
r=CF=
(CA+CB-AB),S
△ABC
rl(其中
r、l
分别是内切圆的半径和三角形的周长)。
掌握这些结论对解填
空题、选择题很有帮助。
I
E
F
【针对训练】
如图,△ABC
中,∠C=90°
,BC=4,AC=3,⊙O
内切于△ABC,则阴影部分的
面积为()
12-πB.
12-2πC.
14-4πD.
6-π
显然图中阴影部分的面积是△ABC
和其内切圆的面积差,解决本
题的关键是求出三角形内切圆的半径;
Rt△ABC
中,已知
BC、AC
的长,可由
勾股定理求得斜边
的长;
进而可根据直角三角形内切圆半径公式求得△ABC
的内切圆半径,进而可求出其面积,由此得解。
中,∠C=90°
,BC=4,AC=3;
根据勾股定理
AB=
BC
=5;
若设
的内切圆的半径为
R,则有:
R=
=1,
∴S
阴影
=S
ABC
AC•BC-πR2=
3×
4-π×
1=6-π。
圆
D。
本题考查了直角三角形内切圆的性质、三角形的面积公式、圆
的面积公式。
直线与圆的位置关系练习题
已知⊙O
的半径
r=3,设圆心
到一条直线的距离为
d,圆上到这条直线的
距离为
的点的个数为
m,给出下列命题:
①若
d>5,则
m=0;
②若
d=5,则
m=1;
③若
1<d<5,则
m=3;
④若
d=1,
则
m=2;
⑤若
d<1,则
m=4.其中正确命题的个数是()
1B.
2C.
3D.
如图,在平面直角坐标系
xOy
中,半径为
的⊙P
的圆心
的坐标为(-3,
0),将⊙P
沿
x
轴正方向平移,使⊙P与
y
轴相切,则平移的距离为()
或
5C.
在三角形
ABC
中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和
BC、AC、AB
切于点
D、E、F,那么
AF
、BD、CE
的长分别为()
AF=4,BD=9,CE=5B.
AF=4,BD=5,CE=9
AF=5,BD=4,CE=9D.
AF=9,BD=4,CE=5
**4.
如图,在平面直角坐标系中,点
A、B
均在函数
y=
k
(k>0,x>0)的
x
图象上,⊙A
与
轴相切,⊙B
轴相切.若点
B
的坐标为(1,6),⊙A
的
半径是⊙B
的半径的
倍,则点
的坐标为()
(2,2)B.
(2,3)C.
(3,2)D.
(4,
)
**5.
一般地,如果在一次实验中,结果落在区域
D
中的每一个点都是等可能
的,用
表示“实验结果落在
中的某个小区域
M
中”这个事件,那么事件
发生的概率
.如图,现往等边△ABC
内射入一个点,则该点落在△ABC
内
切圆中的概率是。
7
**6.
如图,AB
D、T
是圆上的两点,且
AT
平分∠BAD,过
点
T
作
AD
延长线的垂线
PQ,垂足为
C.若⊙O
2,TC=3
,则图中阴影
部分的面积是.
7.
如图,AB,AC
分别是半⊙O
的直径和弦,OD⊥AC
D,过点
作半⊙O
的切线
AP,AP
OD
的延长线交于点
P.连接
并延长,与
的延长线交于点
F.
(1)求证:
是半⊙O
的切线;
(2)若∠CAB=30°
,AB=10,求线段
BF
的长.
**8.
如图,已知
的直径,BC
的弦,弦
ED⊥AB
F,交
BC
G,过点
的直线与
ED
P,PC=PG.
(2)当点
在劣弧
上运动时,其他条件不变,若
BG2=BF•BO.求证:
点
G
是
的中点;
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