自考线性代数教案(第一章行列式)04184PPT格式课件下载.ppt
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重点:
1、行列式计算;
2、矩阵运算;
3、解线性方程组。
试题类型:
单项选择题2分10=20分填空题2分10=20分计算题9分6=54分证明题6分1=6分各部分内容试题分数的大致分布:
第一章行列式13分左右第二章矩阵26分左右第三章向量空间21分左右第四章线性方程组19分左右第五章特征值与特征向量16分左右第六章实二次型5分左右,昆山市科高人才技术培训中心,内部资料,仅供参考,严禁各种盈利性质的传播!
预备知识,一、连加号与连乘号,1、连加号,例如:
2、双重连加号,两个连加号可交换,3、连乘号,这说明,公因数从连乘号中提出来后要乘n次。
二、充分必要条件,三、数学归纳法,第一章行列式,知识结构,1.1行列式的定义,首先看一个线性方程组:
如何求解?
得到,得到,如何记忆呢?
一、二阶行列式与三阶行列式,1、二阶行列式定义,二阶行列式等于它的左上角到右下角的两个元素的乘积减去从左下角到右上角的两个元素的乘积。
前面方程的求解公式可以改写为,2、三阶行列式,记忆方法:
用对角线法来记忆三阶行列式中每一项前面的正、负号。
因此,当a=0且b=0时,上式为零.,二、二阶行列式与三阶行列式的关系,先来观察三阶行列式的定义:
说明要计算一个三阶行列式,可以拆成三个二阶行列式来计算,但是要注意在第二个二阶行列式前面的系数,的前面必须取“”号!
能否推广?
这就涉及到余子式和代数余子式的问题了。
三、n阶行列式,四、余子式、代数余子式,前面的等式可改写为:
可以推广为,能否进一步推广呢?
1.2行列式按行(列)展开,实际上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求它的值。
或,
(1),
(2),根据定理可知:
凡是含零行(行中元素全为零)或零列(列中元素全为零)的行列式,其值必为零。
例1:
分别按第二行与第三列展开行列式,解:
按第二行展开,按第三列展开,例2、求四阶行列式,的值。
解:
行列式的第二列及第四行中均有两个元素为零,按第二列及第四行计算要简单一些。
特例:
1、对角行列式,例如,2、上三角行列式,3、下三角行列式,1.3行列式的性质与计算,一、行列式的性质,行列式的转置:
行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为,如果,则,性质1行列式和它的转置行列式相等,即,根据性质可知,在任意一个行列式中,行与列是处于平等地位的,凡是对“行”成立的性质,对“列”也是成立的;
反之,凡是对“列”成立的性质,对“行”也成立。
所以只需研究行列式有关行的性质,其所有结论对列也是成立的。
性质2,例2说明:
任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号,即对于如下两个行列式,推论如果行列式中某两行(列)相同,则此行列式的值等于零。
性质4如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零。
例如:
性质5行列式可以按行(列)拆开,即,例如:
注意:
利用性质5拆分行列式时,应当逐行逐列拆开。
性质6,利用性质6,可以将行列式简化,从而求出行列式的值。
例:
证明,证:
定理1.3.1,根据行列式的展开定理和行列式的性质,有如下结论:
二、行列式的计算,基本方法,1、利用行列式的性质,把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值。
注意:
转化的过程,必须是恒等变换。
2、利用性质6使原行列式中的某一行或某一列产生很多个“0”,再按这一行或这一列展开,把行列式的阶数降低,再求值。
事实上在计算行列式值时,两种方法结合起来使用,能使解题更加简单。
计算行列式,解:
例2计算行列式,解:
例3计算行列式,解:
例4计算行列式,解:
例5计算n阶行列式(n1),解:
将行列式按第一列展开,例8:
范德蒙德行列式(要求掌握低阶的),例9:
1.4克拉默法则,第一节中已知道,二元线性方程组,同样,对三元线性方程组,一般的,对n元线性方程组,称为n元线性方程组的系数行列式。
可以证明:
定理1.4.2(克拉默法则),则称之为齐次线性方程组。
根据第二章的内容,可以证明这样一个结论:
当齐次线性方程组的系数行列式等于零时,它必有非零解。
系数行列式为,故该方程组有非零解。
例3若下列线性方程组有非零解,k应取何值?
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- 自考 线性代数 教案 第一章 行列式 04184