上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案.doc
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2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
(2011年12月4日上午9:
00~11:
00)
题号
一
(1~8)
二
总分
9
10
11
12
得分
评卷
复核
解答本试卷可以使用科学计算器
一、填空题(每题分,共分)
1.已知关于的两个方程:
①,②,其中。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的倍,则实数的值是___________。
2.已知梯形中,//,,,,,则梯形的面积为_______________。
3.从编号分别为,,,,,的张卡片中任意抽取张,则抽出卡片的编号都大于等于的概率为______________。
4.将个数,,,,,,,排列为,,,,,,,,使得的值最小,则这个最小值为____________。
5.已知正方形的边长为,,分别是边,上的点,使得,,线段与相交于点,则四边形的面积为_____________。
6.在等腰直角三角形中,,是内一点,使得,,,则边的长为______________。
7.有名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场),规定获胜得分,平局得分,负得分。
比赛结束后,发现每名选手的得分各不相同,且第名的得分是最后五名选手的得分和的,则第名选手的得分是_________。
8.已知,,,都是质数(质数即素数,允许,,,有相同的情况),且是个连续正整数的和,则的最小值为_________。
二、解答题(第,题,每题分,第,题,每题分,共分)
9.如图,矩形的对角线交点为,已知,角的平分线与边交于点,直线与相交于点,直线与相交于点M。
求证:
。
解
10.对于正整数,记。
求所有的正整数组,使得,且。
解
11.
(1)证明:
存在整数,,满足;
(2)问:
是否存在整数,,满足证明你的结论。
解
12.对每一个大于的整数,设它的所有不同的质因数为,,,,对于每个,存在正整数,使得,
记例如,。
(1)试找出一个正整数,使得;
(2)证明:
存在无穷多个正整数,使得。
解
10
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