特征值与特征向量算法的研究Word下载.docx
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AtpresentWhilecarryingonresearchinalotofscientificfields,thequestionsoftenchangeintohowtosolvetheeigenvalueandeigenvector.Thedegreepaperdoresearchinsomeimportantarithmeticoneigenvalueandeigenvector,suchaspowermethod,inversepowermethod,QRarithmeticandJacobiarithmeticetc.Inthispaper,wediscussthetheoryofarithmetic,alsoincludinghowtousethemintheMATLAB.Thenwecancometotheconclusionthatthepowermethodiseasytorun,itisfittosparsematrix,butthespeedistooslow!
Ifyouwanttospeedtherateofconvergence,youcanuseinversepowermethod.QRisdiffusedasnumericalmathematics,oneofthenoteworthinessarithmetic;
itisthebestarithmeticwhichcansolvealleigenvalueandeigenvectorofanymatrix.Jacobinarithmeticisaclassicality,therateofconvergenceisfast,andtheprecisionarehightoo.Itiseasytoparallelcalculate,andtheresultissteadybutitisfittocalculatealleigenvalueandeigenvectorofsymmetricmatrix.
Keywords:
EigenvalueeigenvectorpowermethodQRarithmeticJacobinarithmetic
目录
摘要………………………………………………………………………
(1)
1绪论
1.1问题提出与研究的目的和意义………………………………(3)
1.2国内外研究现状………………………………………………(3)
1.3论文结构与研究方法…………………………………………(3)
1.4论文使用的软件环境…………………………………………(4)
2MATLAB语言及其在数值计算方面应用的简介……………………(4)
2.1幂法……………………………………………………………(4)
2.2反幂法…………………………………………………………(6)
2.3移位反幂法……………………………………………………(8)
2.4QR算法………………………………………………………(10)
2.5雅可比(Jacobi)迭代法……………………………………(12)
3记单侧旋转法的对称矩阵特征值的求法……………………………(16)
4几种算法的比较………………………………………………………(16)
5MATLAB计算仿真结果………………………………………………(17)
在MATLAB中用幂法求其特征值与特征向量………………………(17)
6尚待深入研究的问题…………………………………………………(17)
参考文献…………………………………………………………………(18)
致谢………………………………………………………………………(18)
一、绪论
1.1问题提出与研究的目的和意义
代数特征值问题是数值代数的一个重要研究领域。
对它的研究具有重要的理论意义和应用价值。
许多科学技术和工程问题,如结构力学中的固有频率分析问题以及控制系统的稳定性问题,最终都转化为特征值问题。
代数特征值问题的解法长期在各个领域都起着不可忽视的作用,因为它充分地显示出所谓经典数学与实用数值分析之间的差异。
同时,讨论了各算法的原理及各算法的MATLAB实现,是本文的研究目的。
1.2国内外研究综述
矩阵逆特征值问题(亦称矩阵反问题)涉及的领域有数学物理、地球物理、量子化学、光学、力学、结构设计、模态识别、自动控制等等.例如,弹簧一一一质量系统的参数识别,极点配置,但是,由于逆问题本身的复杂性以及理论模型与实际问题的差异,矩阵逆特征值问题的研究进展并不是很快,只是关于对称三对角线矩阵的逆特征问题的研究相对地比较成熟,有很多提法及解的适定性条件.而对于五对角线矩阵逆特征值问题的研究较少,有关结论也不多.
目前,求解特征值问题的方法可分为两大类:
一类称为变换方法,另一类称为向量迭代法。
变换方法是直接对原矩阵进行处理,通过一系列变换,使之变成一易于求解特征值的形式,如Jacobi方法,Givens方法,QR方法以及QL方法等。
变换方法由于要存储矩阵元素,因而,它只适用于求解阶数较底的矩阵,它一般和向量迭代法和起来使用。
向量迭代法是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量。
由于向量迭代法可采用压缩存贮技术,因而它适合于求解大型矩阵尤其是大型稀疏矩阵的特征值问题。
目前常用的计算大型对称稀疏矩阵特征值问题的迭代法有子空间迭代法和Lanczos方法.子空间迭代法可同时求得几个端部特征值及特征向量.子空间迭代法有一个很大的缺点,就是收敛速度较慢,从而运算量较大,并且随着迭代次数的增加,舍入误差的影响也会增大.Lanczos方法利用三项递推公式,存储量较小,计算速度较快,理论分析也较为成熟.但Lanczos方法并不是对各种类型的矩阵都非常有效,对有些问题,Lanczos方法的收敛速度是很慢的.
1975年,E.R.Davidson提出了计算大型对称矩阵极端特征值的一种新方法—Davidson方法。
Davidson方法对于计算分子物理学中的特征值问题是非常有效的。
因为在分子物理学中的矩阵一般都是对角占优矩阵,对于对角占优矩阵,Davidson方法能够使得不要求的特征向量的分量从逼近要求的特征向量的子空间的基中逐步减小,从而大大加快了特征值的收敛速度。
继E.R.Davidson之后,又有许多人对Davidson方法进行了研究和改进,使之能够计算非对角占优矩阵和非对称矩阵的极端特征值。
这些改进使得Davidson方法变得更为灵活和有效。
不精确Newton方法也是目前计算大型对称稀疏矩阵特征值的一种有效方法。
1.3论文结构与研究方法
特征值和特征向量不仅是一个重要的分支,而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。
特别是计算机的广泛应用为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。
例如:
系统工程、优化方法和稳定性的理论等,都与矩阵论有密切的关系。
特别在工程实践中(例如,机械的振动、气轮机叶片的振动、电磁振荡、物理学中某些临界值的确定等)特征值与特征向量的计算有着非常重要的应用,其相应的算法对不同实际问题有着略微的差异
1.4论文使用的软件环境
MATLABC语言
二、MATLAB语言及其在数值计算方面应用的简介
2.1幂法
2.1.1幂法的定义
幂法是计算矩阵主特征值(指模最大的特征值)及对应的特征向量的一种向量迭代[1]
2.1.2幂法的基本思想
任取初始非零向量,由矩阵A构造迭代格式
=A(K=1,2,…)(2.1.1)
于是得迭代序列{}
=A
=A=(2.1.2)
.
=A=…=
由假设矩阵A有n个线性无关的特征向量(K=1,2,…,n)于是给定的初始向量可以用这组特征向量线性表示,即
(2.1.3)
并设。
把代入,得
(2.1.4)
(2.1.5)
同理可得
(2.1.6)
设主特征值满足。
把上式改写成如下形式:
同理有
因为
||>
||(i=2,3,…,n)
所以
(i=2,3,…,n)
从而可得
(2.1.7)
和
(2.1.8)
则说明迭代向量为特征值所对应的特征值的近似向量.而式(8)表示向量和向量近似地线性相关,其中比例系数是一个常数,该数即为所求的主特征值.具体计算时,可以取
(2.1.9)
其中表示向量的第i个分量.
2.1.3算法基本思想:
设,记其中符号表示向量中模最大的分量。
对于任意的非零初始向量,按迭代格式,;
生成向量序列及数列[2]。
2.1.4程序
在Matlab中,,为利用幂法计算矩阵的主特征值及特征向量,首先编写求数列中模最大的分量的程序[2]
functiont=maxnorm(a)
n=length(a);
t=0;
fori=1:
n
ifabs(a(i)/max(abs(a)))>
=1
t=a(i);
end
end
调用上述程序,用幂法计算矩阵的特征值及对应的特征向量的程序如下:
function[mt,my]=maxtr(a,eps)
x0=diag(ones(n));
k=1
x=a*x0
whilenorm(x-x0)>
eps
k=k+1
q=x;
y=x/maxnorm(x)
x=a*y;
x0=q;
end
mt=maxnorm(x)
my=y
Rayleigh迭代法计算矩阵的特征值
幂法是一种求一般矩阵主特征值的向量迭代法,若矩阵是对称的,则可以用Rayleigh商迭代法
functionraymaxtr(a,eps)
x=a*x0;
y=x
ry=y'
*x
q=x
y=x/norm(x,2)
x=a*y
x0=q
ry=y'
2.2反幂法
2.2.1反幂法的定义及基本思想
如果矩阵A为非奇异矩阵,则存在且A的特征值均不为零。
设A有n个线性无关的特征向量,它们所对应的特征值为并按模的大小排列为
由可得
(2.1.10)
矩阵的特征值(i=1,2,…,n),并有
于是的主特征值为,而且所对应于的特征向量任是,因此对矩阵应用幂法求主特征值,就是对A求绝对值最小的特征值。
用
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- 特征值 特征向量 算法 研究
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