中考数学考点总动员系列 专题14 三角形文档格式.docx

中考数学考点总动员系列 专题14 三角形文档格式.docx

《中考数学考点总动员系列 专题14 三角形文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学考点总动员系列 专题14 三角形文档格式.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：

在同一个三角形中：

等角对等边；

等边对等角；

大角对大边；

大边对大角。

二、全等三角形

1、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

2.全等三角形的性质：

三、等腰三角形

1、等腰三角形的性质定理及推论：

定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：

等边对等角）

推论1：

等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：

等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°

2、等腰三角形的判定定理及推论：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：

等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

三个角都相等的三角形是等边三角形

有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形。

推论3：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3、三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

名师点睛☆典例分类

考点典例一、三角形中位线

【例2】

（2014·

河北）如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=（）

A、2B、3C、4D、5

【答案】C.

考点：

三角形中位线定理.

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．

【举一反三】

1．（2015·

湖北衡阳，18题，3分）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为m．

【答案】40

三角形中位线定理

考点典例二、等腰三角形

（2015·

湖北衡阳，7题，3分）已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（）．

A．11B．16C．17D．16或17

【答案】D

三角形三边关系；

分情况讨论的数学思想

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；

对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

湖北荆门，5题，3分）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．8或10B．8C．10D．6或12

【答案】C．

【解析】

试题分析：

①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长=2+4+4=10，

综上所述，它的周长是10．故选C．

1．等腰三角形的性质；

2．三角形三边关系；

3．分类讨论．

考点典例三、全等三角形

【例3】如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）

A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F

根据全等三角形的判定定理，即可得出：

∵AB=DE，∠B=∠DEF，

∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；

添加∠A=∠D，根据ASA，可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；

添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确．

故选C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：

SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．

（2015.重庆市A卷，第20题，7分）如图，在△ABD和△FEC中，点B,C,D,E在同一直线上，且AB=FE,BC=DE,B=E。

求证：

ADB=FCE.

【答案】证明见解析.

全等三角形的证明.

考点典例四、相似三角形

【例4】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：

S△CDE=1：

4，则S△BDE：

S△ACD=（　　）

　A．1：

16B．1：

18C．1：

20D．1：

24

【考点】相似三角形的判定与性质．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．

1.（2015.天津市，第16题，3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为　　　　　　.

【答案】.

由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得,解得.

考点:

相似三角形的判定与性质.

2.（2015·

黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

三角形相似的应用.

考点典例五、位似三角形

【例5】△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：

2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）

A．3B．6C．9D．12

【答案】D．

位似变换的性质．

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．

1.（2015·

辽宁营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（）.

A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）

分别过C,D,A,B,做x轴的垂线，垂足分别是F,H,K；

因为A,D的横坐标相同，所以D在AH上，∵E（1,0），C（2，2），A（3，4），D（3，1），∴EF=1，FH=1；

∵CF∥AH∥BK,∴,∵CD∥AB,∴,∵DH∥BK,∴,∵EH=2，DH=1，∴EK=4，BK=2，∴OK=5，∴B（5，2）,故选C.

1.位似性质；

2.平行线分线段成比例定理.

2.（2015宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：

2，∠OCD=90°

，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）

A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）

【答案】B．

1．位似变换；

2．坐标与图形性质．

考点典例六：

直角三角形

【例6】

湖南长沙）如图，为测量一颗与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）

根据题意可得BO=30，tan∠ABO=，则AO=BO·

tan∠ABO=30tanα.

三角函数的应用.

【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：

在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．

辽宁大连）如图，在△ABC中，∠C=90°

，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）

A.-1B.+1C.-1D.+1

解直角三角形.

湖北荆门，11题，3分）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）

A．B．C．D．

【答案】A．

1．解直角三角形；

2．等腰直角三角形．

课时作业☆能力提升

1、选择题

湖南长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）

【答案】A

经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高.根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.

三角形高线的作法

2.（2015.山东济宁，第5题,3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为（）

A.13B.15C.18D.13或18

解一元二次方程可求得方程的两根为，那么根据三角形的三边关系，可知3＜第三边＜9，得到合题意的边为4，进而求得三角形周长为3+4+6=13．

故选A

解一元二次方程，三角形的三边关系，三角形的周长

3.（2015.济宁，第9题,3分）如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1:

2，AC=米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）

A.5米B.6米C.8米D.米

解直角三角形

4.（2015.山东日照，第10题，3分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（　　）

A.B.C.D.

解：

如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵tanB=，即=，

∴设AD=5x，则AB=3x，

∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，

∴△CDE∽△BDA，

∴，

∴CE=x，DE=，

∴AE=，

∴tan∠CAD==．

故选D．

解直角三角形．

5.（2015成都）如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）

A．1B．2C．3D．4

根据平行线段的比例关系，，即，，故选B．

平行线分线