版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ322对数函数二学案新人教B版必修1含答案Word格式文档下载.docx
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知识点三 不同底的对数函数图象的相对位置
思考 y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置?
梳理 一般地,对于底数a>
1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近x轴;
对于底数0<
a<
1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠近x轴.
类型一 对数型复合函数的单调性
例1 求函数y=log(-x2+2x+1)的值域和单调区间.
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点:
(1)单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出定义域;
(2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;
f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”.
跟踪训练1 已知函数f(x)=log(-x2+2x).
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求f(x)的单调性.
例2 已知函数y=log(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,求实数a的取值范围.
反思与感悟 若a>
1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,若0<
1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.
跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,3)
C.(1,3]D.[3,+∞)
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f(x)=ln的奇偶性.
引申探究
若已知f(x)=ln为奇函数,则正数a,b应满足什么条件?
反思与感悟
(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±
f(-x)=0来判断,运算相对简单.
跟踪训练3 判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性.
类型三 对数不等式
例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1).解关于x的不等式:
loga(1-ax)>f
(1).
反思与感悟 对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)>logag(x);
(2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向;
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0.
跟踪训练4 已知A={x|log2x<
2},B={x|<
3x<
},则A∩B等于( )
A.B.(0,)
C.D.(-1,)
1.如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图象,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )
A.,,,B.,,,
C.,,,D.,,,
2.如果logx<
logy<
0,那么( )
A.y<
x<
1B.x<
y<
1
C.1<
yD.1<
x
3.函数f(x)=lg(x∈R)是( )
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
4.函数f(x)=的定义域为________.
5.函数f(x)=lnx2的减区间为____________.
1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
2.在对数函数y=logax(a>
0,且a≠1)中,底数a对其图象的影响:
无论a取何值,对数函数y=logax(a>
0,且a≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着a的逐渐增大,y=logax(a>
1,且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当0<
1时函数单调递减,当a>
1时函数单调递增.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y=log2f(x)与y=f(x)的单调区间不一定相同,因为y=log2f(x)的定义域与y=f(x)定义域不一定相同.
知识点二
思考 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义,即x>0,
∴log2x<log23⇔0<x<3.
知识点三
思考 可以通过描点定位,也可令y=1,对应x值即底数.
题型探究
例1 解 设t=-x2+2x+1,
则t=-(x-1)2+2.
∵y=logt为减函数,且0<
t≤2,
∵y=log2=-1,即函数的值域为[-1,+∞).
函数log(-x2+2x+1)的定义域为满足-x2+2x+1>
0的x的取值范围,由函数y=-x2+2x+1的图象知,1-<
1+.
∵t=-x2+2x+1在(1-,1)上递增,而在(1,1+)上递减,而y=logt为减函数.
∴函数y=log(-x2+2x+1)的增区间为(1,1+),减区间为(1-,1).
跟踪训练1 解
(1)由题意得-x2+2x>
0,∴x2-2x<
0,
∴0<
2.
当0<
2时,y=-x2+2x=-(x2-2x)∈(0,1],
∴log(-x2+2x)≥log1=0.
∴函数y=log(-x2+2x)的值域为[0,+∞).
(2)设u=-x2+2x(0<
2),v=logu,
∵函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,v=logu是减函数,
∴由复合函数的单调性得到函数f(x)=log(-x2+2x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.
例2 解 令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上是减函数,∵0<
<
1,∴y=logg(x)是减函数,而已知复合函数y=log(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,
∴只要g(x)在(-∞,)上单调递减,且g(x)>
0,x∈(-∞,)恒成立,
即
∴2≤a≤2(+1),
故所求a的取值范围是[2,2(+1)].
跟踪训练2 B
例3 解 由>
0可得-2<
2,
所以函数的定义域为(-2,2),关于原点对称.
f(-x)=ln=ln()-1
=-ln=-f(x),
即f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)=ln是奇函数.
引申探究 解 由>
0得-b<
a.
∵f(x)为奇函数,∴-(-b)=a,即a=b.
当a=b时,f(x)=ln.
f(-x)+f(x)=ln+ln
=ln
=ln1=0,
∴有f(-x)=-f(x),
∴此时f(x)为奇函数.
故f(x)为奇函数时,a=b.
跟踪训练3 解 由-x>
0可得x∈R,
f(x)+f(-x)=lg(-x)+lg(+x)
=lg[(-x)(+x)]
=lg(1+x2-x2)=0.
所以f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)=lg(-x)是奇函数.
例4 解 ∵f(x)=loga(1-ax),
∴f
(1)=loga(1-a).
∴1-a>0.∴0<a<1.
∴不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a).
∴即∴0<x<1.
∴不等式的解集为(0,1).
跟踪训练4 A
当堂训练
1.A 2.D 3.A 4.(0,] 5.(-∞,0)
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