届高考数学江苏卷模拟冲刺卷含附加及详细解答共8套Word文件下载.docx
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届高考数学江苏卷模拟冲刺卷含附加及详细解答共8套Word文件下载.docx
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8.如图,F1,F2是双曲线C1:
x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若△AF1F2为等腰三角形,则C2的离心率是________.
9.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=-,sin(β-)=,则cos(α+)=________.
10.如图,在△ABC中,AB=3,BC=2,D在边AB上,=2,若·
=3,则边AC的长为__________.
11.设正四面体ABCD的棱长为,P是棱AB上的任意一点(不与A,B重合),且P到平面BCD、平面ACD的距离分别为x,y,则+的最小值是________.
12.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-()n-1+1(n为正整数),则数列{an}的通项公式为________.
13.已知函数f(x)(x∈R)的图象关于点(1,2)对称,若函数y=-f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.
14.已知函数f(x)=-(x>
0,a∈R),若存在实数m,n,使得f(x)≥0的解集恰为[m,n],则实数a的取值范围是________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别为线段BB1,A1C的中点,MN⊥AA1,且MA1=MC.求证:
(1)平面A1MC⊥平面A1ACC1;
(2)MN∥平面ABC.
16.(本小题满分14分)
已知在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2=sinB,b=1.
(1)若A=,求边c的大小;
(2)若sinA=2sinC,求△ABC的面积.
17.(本小题满分14分)
学校A,B两餐厅每天供应1000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐),调查表明:
开学第一天有200人选A餐厅,并且学生用餐有以下规律:
凡是在某天选A餐厅的,后面一天会有20%改选B餐厅,而选B餐厅的,后面一天则有30%改选A餐厅.若用an,bn分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数.
(1)求开学第二天选择A餐厅的人数;
(2)若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的,则该餐厅需整改,问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能,如果有可能,请指出在开学后第几天开始整改;
如果没有可能,请说明理由.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,直线l:
x-y+=0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,m=(k1-2,1),n=(1,k2-2),若m⊥n,求证:
直线AB过定点.
19.(本小题满分16分)
在等比数列{an}中,a2=,a3·
a6=.设bn=log2a2·
log2a2,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求an和Tn;
(2)若对任意的n∈N*,不等式λTn<
n-2(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=(其中k∈R,e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若xexf(x)>
m对x∈[1,e]恒成立,求k的取值范围;
(3)若f′
(1)=0,求证:
对任意x>
0,f′(x)<
恒成立.
数学附加分
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】从A,B,C三题中选做2题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修42:
矩阵与变换)
已知矩阵A=(c,d为实数).若矩阵A属于特征值2,3的一个特征向量分别为,,求矩阵A的逆矩阵A-1.
B.(选修44:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.
C.(选修45:
不等式选讲)
已知x,y,z∈R,且x+2y+3z+8=0.求证:
(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知CA=CB=1,AA1=2,∠BCA=90°
.
(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值;
(2)求二面角BAB1C平面角的余弦值.
23.在数列{an}中,已知a1=20,a2=30,an+1=3an-an-1(n∈N*,n≥2).
(1)当n=2,3时,分别求a-an-1an+1的值,并判断a-an-1an+1(n≥2)是否为定值,然后给出证明;
(2)求出所有的正整数n,使得5an+1an+1为完全平方数.
1.1或-2 解析:
∵A∩B={1},∴1∈B,∴a=1或a2-3=1,∴a=1或a=±
2,但a=2不合题意,舍去.
2.[-4,0] 解析:
∵Δ=a2+4a≤0,∴-4≤a≤0.
3. 解析:
z===+i,|z|==.
4.e或0 解析:
y=令y=1,则x=0或x=e.
5.24 解析:
∵log2=log23-3<
4,log23<
4,又x<
4时,f(x)=f(x+3),
∴f=f(log23-3)=f(log23+3).∵log23+3>
4,∴f(log23+3)=2log23+3=2log23·
23=24.
6. 解析:
从盒中抓出两球共有3种方法,其中颜色不同的有2种,故概率为.
7.6 解析:
作出如图所示可行域,当直线经过最优点(4,6)时,z取得最大值6.
8. 解析:
∵AF2=F1F2=2c=4,AF2-AF1=2,∴AF1=2,∴a=3,∴e=.
9.- 解析:
由于α,β∈,∴<
α+β<
2π,∴<
β-<
,∴cos(α+β)=,cos=-,∴cos=cos[(α+β)-]=×
+×
=-.
10. 解析:
∵·
=3,∴·
(-)=3,∴·
-·
=3.又||=2,∴·
=1,∴cosB=,由余弦定理得AC=.
11.2+ 解析:
∵VABCD=VPBCD+VPACD,正四面体ABCD的高h=2,∴x+y=2,∴+==≥2+,当且仅当=时等号成立.
12. 解析:
当n=1时,得S1=-a1-0+1,即a1=0;
当n≥2时,∵Sn=-an-n-1+1,∴Sn-1=-an-1-n-2+1,∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1,∴2an=an-1+n-1,即2nan=2n-1an-1+1.令bn=2nan,则当n≥2时,bn=bn-1+1,即bn-bn-1=1.又b1=2a1=0,故数列{bn}是首项为0,公差为1的等差数列,于是bn=b1+(n-1)·
1=n-1.∵bn=2nan,∴an=2-nbn=.
13.4 解析:
y=-f(x)的零点即为=f(x)的解,∴y=与y=f(x)有四个交点.∵y==2+,∴y=的图象关于点(1,2)对称.又f(x)(x∈R)的图象关于点(1,2)对称,∴y=与y=f(x)的四个交点关于(1,2)对称,∴x1+x2+x3+x4=2+2=4.
14.(0,1) 解析:
由f(x)≥0及x>
0,得a≤的解集恰为[m,n],设g(x)=,则g′(x)=,
由g′(x)=0,得x=1,
当0<
x<
1时,g′(x)>
0,g(x)单调递增;
当x>
1时,g′(x)<
0,g(x)单调递减,
且g
(1)=1,g(0)=0,
0时,g(x)>
0,大体图象如图所示.
由题意得方程a=有两不等的非零根,∴a∈(0,1).
15.证明:
(1)∵MA1=MC,且N是A1C的中点,
∴MN⊥A1C.
又MN⊥AA1,AA1∩A1C=A1,A1C,AA1⊂平面A1ACC1,
故MN⊥平面A1ACC1.
∵MN⊂平面A1MC,
∴平面A1MC⊥平面A1ACC1.(6分)
(2)如图,取AC中点P,连结NP,BP.
∵N为A1C中点,P为AC中点,
∴PN∥AA1,且PN=AA1.
在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1∥AA1,且BB1=AA1.
又M为BB1中点,故BM∥AA1,且BM=AA1,
∴PN∥BM,且PN=BM,
于是四边形PNMB是平行四边形,
从而MN∥BP.
又MN⊄平面ABC,BP⊂平面ABC,
∴故MN∥平面ABC.(14分)
16.解:
(1)由题意,得1+cosB=sinB,
∴2sin=1,
∴B-=或(舍去),∴B=.
∵A=,则C=,由正弦定理=,得c=.(5分)
(2)∵sinA=2sinC,由正弦定理,得a=2c.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,将b=1,a=2c,B=代入解得c=,从而a=,
∴S△ABC=acsinB=×
×
sin=.(14分)
17.解:
(1)第一天选A餐厅的学生在第二天仍选A餐厅的学生有200(1-20%)=160(人),
第一天选B餐厅的学生在第二天改选A餐厅的学生有(1000-200)×
30%=240(人),
故开学第二天选择A餐厅的人数为160+240=400.(4分)
(2)由题知bn+1=20%an+bn(1-30%),
而an+bn=1000,∴bn+1=bn+200,
∴bn+1-400=(bn-400).
又b1=1000-200=800,
∴数列{bn-400}是首项为400,公比为的等比数列,
∴bn-400=400×
n-1,
∴bn=400+400×
n-1.
当选B餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的时,有400+400×
n-1<
1000,
即n-1<
,∴n>
4,
∴B餐厅有整改的可能,且在开学第5天开始整改.(14分)
18.
(1)解:
∵等轴双曲线的离心率为,
∴椭圆的离心率为e=,∴e2===,∴a2=2b2.
∵直线l
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