第一章求极限练习题答案Word格式.docx
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sinx歹、lim(g)nXx7sinn2n
(6)
2.1
xsin
..2x21
21
xg-
limx
x一2x2
n2n1
yn~2
lim(
n(n
2
n2n2
~2
J)
nn
n(n1)2_
nnn
而lim
故lim(
nn2n1
yn
D
n(n1)
nn1
=lim((n乜)
n.n3,n\n.n
1.3函数的极限作业
1.根据函数极限的定义,验证下列极限:
¥
:
角
O
13X
m
HX
。
要使&
1春,即|x|31
只要取X[31],则当|x|X时恒有
130|
X
所以lim^3
0.
(2)lim.x2
x4
0要使"
2|J
|x
4|
还要使x
则当0|x
0,即卩x44,或|x
4|时,恒有|'
上2|丄
L
4|4,只要取
所以lim\x
x,
min{2
4},
2.求下列数列极限:
(1)lim(
令yn」-
因尹】
而lim22
nnnn
1n2n
4
-2nn
2.
n)
12L
卫
2_n1
lim飞nn
-L
limp,n3,n
/n3屛(nVn)、
=nim(,n3.n.n.J
(2)
2,
-)
解
3.求下列函数极限:
、nn)
(1)lim
xI解:
原式=-9
(2)
lim「
x2x2
原式=[im(x2)=4
x.1x
x21
3x(1
x)
2lim
1(,3xAx)(x1)x1(;
3xJx)(x1)
lim(■、x21.x2
1)解:
原式=0广1干1
(5)
(2x1)(3x2)
(2x
1)2
11)
4.设f(x)
原式=0宁廿
原式=lim
(x1)
x1x21
3x
x1
x>
x2时的极限是否存在.
limf(x)
x0
f(x)
x2
1,
f(x)1,
1.4
3x1x
分别讨论f(x)在
故limf(x)不存在.
f(x)趋向无穷大,故
1,故limf(x)
m2
x(1x)
3
1(;
3x.1x)(x21)
1.
f(x)不存在.
X/V
m2HX一一
4-一
=
2)
lim
x1(.3x
、1x)(x1)
、2
hh
7X
叫
Hh
h
叫Hh
1-h
⑼lim(、.、x21
(11)
(2x1)
6x27x2
4x24x1
(13)
4x
(15)xm1(x2
1、r(x1)「1
)=lim2lim
1x1x1x21x1x1
2.设f(x)
0x0,分别讨论
f(x)在x0,x1时的左右
x2
*2
xx2
x0x1
11x2
极限,并说明这两点的极限是否存在
limf(x)lim——
x0x0x1
1,linnf(x)
0,!
心)
limf(x)
limx1,limf(x)lim1
x1x1x1
limf(x)1.
limf(x)limf(x)
x1x1
1.51.求下列极限:
sin3xlim
sin3x
lim33
⑶lim^tan3xlim3x
x0sin4xx04x
在U0(0,)
.x
sin-
.1cosx
1cosx
mo
xsinxcosx
2sin
2221TX2X4
•2xsin—
-0
1xsinxcosx
sin2-G1xsinxcosx)
xsinxsinxglimi
.2xx0sin—
一1xsinx
cosx
1xsinxsinx
=-lim
2x0
(f)2
2lim(竺^
x0x
.2
)=4
注意:
代数和中的一部分不能用无穷小替换
错原式二佃一1—
x0•2Xr:
—f、
sin一(、1xsinxcosx)
lim0
1x2(1xsinxcosx)
moHX
1sinxcosx
di
sinxcosx
2sin-cos-2sin2—
222
2x
.x,x.x、
sin(cossin)
x、sin)2
0x
sin(cos
2"
sin
xcos
.xsin
Jim
xx0x.
cossin
=lim2
-0x
g1=-
代数和的一部分不能用无穷小替换
错lim
-01
K叫
12
x2x1
xcosx
(9)hm(1
^1
Hx
e3(11)lim(^^)x
lim[(1
x2“
(13川叫(1
33
3x)xlim[(13x)3x]e
4.
0时,下列函数中哪些是x的高阶无穷小,
哪些是x的同阶无
无穷小?
x31000x2解:
因为
3
lim—
1000x2
(x21000x)
所以
x31000x2
o(x)
2sin3x
2sin3x
因为lim
lim2sin
所以sin3x
ln(1x)解:
ln(1x)
limln(1
x){1所以
ln(1
x)〜x
1cosx解:
因为lim1
2sin2°
lim20x
sin—
lim(sin刍——)0,
x0、2
所以1cosxo(x)
(5)xsinx解:
无穷小.
X-mo
SinX=lim(1SinX)=2,故xsinx是x的同阶xx0x
(6)Vtanx解:
因为I]叫^tanx=lim[(
sinx、+11、
)3g厂gj)=
cos3xx3
00
x叫3
的低阶无
或:
思考题:
1.lim(3x
9x)x
arccotx
2.lim
x0xz
gxcosx=0,sinx
lim9(1”吐
3xgx=lim
9[(1
因为当x0时,
故3tanX是x的低阶无穷小.
严=9e0=9
arccotx
习题2.21.求下列函数的导数:
cosxx2解:
y'
sinx2x
sinxxcose解:
y'
cosx1
(注:
(cose)'
0)
cos2—解y'
2cosxg(cos-)'
x..
=2cos㊁asin
'
=2cos*g(sinf)
x.xcos^gsin=
1.
-sinx
⑺y
sin3x解:
(9)y
sin(x2x1)解
(11)y
InxInx3解:
(6)y
(2x1)6解:
(10)y
In(Inx)解:
y
3cos3x
InxIn(sinx)
55
6(2x1)g2=12(2x1)
©
Inx)'
(3Inx)'
(2x1)cos(xx
丄(Inx)'
=—g^=
InxInxx
丄
2x
—(sinx)'
=1g1—gsosx=1cotx
sinx,x2*xsinx2x
2.在下列方程中,求隐函数的导数:
(1)y
cos(xy)解:
sin(x
y)(1
)故y'
汽蛊弋
(2)x3
y3a3解:
3y
0,故
3.求反函数的导数:
Inx解:
dy
dx
arcsinx卄
⑵ye解:
xsinIn
故dycosIn
1
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