13函数的基本性质 新人教A版必修1优秀教案Word文档格式.docx
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4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
重点难点
教学重点:
函数的单调性和最值.
教学难点:
增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.
课时安排
2课时
设计方案
(一)
教学过程
第1课时函数的单调性
导入新课
思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(HermannEbbinghaus,1850~1909),他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.
时间间隔t
0分钟
20分钟
60分钟
8~9小时
1天
2天
6天
一个月
记忆量y(百分比)
100%
58.2%
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据,可以看出:
记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?
描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?
你能用数学符号来刻画吗?
通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?
(可以借助信息技术画图象)
图1-3-1-1
学生:
先思考或讨论,回答:
记忆量y随时间间隔t的增大而增大;
以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.
遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题.
思路2.在第23届奥运会上,中国首次参加就获15枚金牌;
在第24届奥运会上,中国获5枚金牌;
在第25届奥运会上,中国获16枚金牌;
在第26届奥运会上,中国获16枚金牌;
在第27届奥运会上,中国获28枚金牌;
在第28届奥运会上,中国获32枚金牌.按这个变化趋势,2008年,在北京举行的第29届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌?
学生回答(只要大于32就可以算准确),教师:
提示、点拨,并引出本节课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x,二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?
这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
图1-3-1-2
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?
③如何理解图象是上升的?
④对于二次函数y=x2,列出x,y的对应值表
(1).完成表
(1)并体会图象在y轴右侧上升.
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f(x)=x2
表
(1)
⑤在数学上规定:
函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义?
⑥增函数的定义中,把“当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2)”改为“当x1>
x2时,都有f(x1)>
f(x2)”,这样行吗?
⑦增函数的定义中,“当x1<
f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?
函数的图象有什么特点?
⑧增函数的几何意义是什么?
⑨类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?
⑩函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?
讨论结果:
①函数y=x的图象,从左向右看是上升的;
函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;
函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:
横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.
④在区间(0,+∞)上,任取x1、x2,且x1<
x2,那么就有y1<
y2,也就是有f(x1)<
f(x2).这样可以体会用数学符号来刻画图象上升.
⑤一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<
f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
⑥可以.增函数的定义:
由于当x1<
f(x2),即都是相同的不等号“<
”,也就是说前面是“<
”,后面也是“<
”,步调一致;
“当x1>
f(x2)”都是相同的不等号“>
”,也就是说前面是“>
”,后面也是“>
”,步调一致.因此我们可以简称为:
步调一致增函数.
⑦函数值随着自变量的增大而增大;
从左向右看,图象是上升的.
⑧从左向右看,图象是上升的.
⑨一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<
f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:
步调不一致减函数.减函数的几何意义:
从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:
函数值随着自变量的增大而减小.总结:
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数(或减函数),那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调递增(或减)区间.
⑩函数y=f(x)在区间D上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:
从左向右看,图象是上升(下降)的.
应用示例
思路1
例1如图1-3-1-3是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
图1-3-1-3
活动:
教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数.
解:
函数y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数y=f(x)在区间[-5,2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.
点评:
本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.
图象法求函数单调区间的步骤是第一步:
画函数的图象;
第二步:
观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
变式训练
课本P32练习1、3.
例2物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明.
学生先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题,并标出关键的地方,以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时,压强p将增大是指函数p=是减函数;
刻画体积V减少时,压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时,常用单调性的定义来解决.
利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.
本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步:
在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1<
x2;
比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;
第三步:
再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:
一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为:
“去比赛”.
课本P32练习4.
思路2
例1
(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;
(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;
(3)当函数f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.
图1-3-1-4
(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.
(2)设x1、x2∈(-∞,1],且x1<
x2,则有
f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1],且x1<
x2,∴x1-x2<
0,x1+x2<
2.
∴2-x1-x2>
0.∴f(x1)-f(x2)<
0.∴f(x1)<
f(x2).
∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数.
(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是(-∞,1].
本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;
二次函数在对称轴两侧的单调性相反;
二次函数在区间D上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间D内.
判断函数单调性时,通常先画出其图象,由图象观察出单调区间,最后用单调性的定义证明.
判断函数单调性的三部曲:
第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势;
第二步,结合图象来发现函数的单调区间;
第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.
函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调
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