第一章 学案2 运动的合成与分解Word格式文档下载.docx
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答案 小船参与了两个运动,即船垂直河岸的运动和船随水向下的漂流运动.
2.如图2所示,在一张白纸上,让铅笔沿尺边横向移动的同时让直尺沿纵向移动,研究笔尖的横向位移、纵向位移与笔尖的实际位移三者有什么关系?
图2
答案 笔尖横向位移、纵向位移与笔尖的实际位移之间满足平行四边形定则.
[要点提炼]
1.位移和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则.
2.合运动与分运动的关系
(1)等时性:
合运动与分运动经历的时间相等,即同时开始,同时进行,同时停止.
(2)独立性:
一个物体同时参与了几个分运动,各分运动独立进行、互不影响,因此在研究某个分运动时,就可以不考虑其他分运动,就像其他分运动不存在一样.
(3)等效性:
各分运动的相应参量叠加起来与合运动的参量相同.
3.合运动性质的判断
分析两个直线分运动的合运动的性质时,应先根据平行四边形定则,求出合运动的合初速度v0和合加速度a,然后进行判断.
(1)判断是否做匀变速运动
①若a=0时,物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动.
②若a≠0且a恒定时,做匀变速运动.
③若a≠0且a变化时,做非匀变速运动.
(2)判断轨迹的曲直
①若a与速度共线,则做直线运动.
②若a与速度不共线,则做曲线运动.
二、小船渡河问题
小船渡河问题一般有渡河时间最短和航程最短两类问题:
图3
1.关于最短时间,可根据运动等时性原理由船对静水的分运动时间来求解,由于河宽一定,当船对静水速度v1垂直河岸时,如图3所示,垂直河岸方向的分速度最大,所以必有tmin=.
图4
2.关于最短航程,一般考察水流速度v2小于船对静水速度v1的情况较多,此种情况船的最短航程就等于河宽d,此时船头指向应与上游河岸成θ角,如图4所示,且cosθ=;
若v2>v1,则最短航程s=d,此时船头指向应与上游河岸成θ′角,且cosθ′=.
三、关联物体速度的分解
绳、杆等连接的两个物体在运动过程中,其速度通常是不一样的,但两者的速度是有联系的(一般两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等),我们称之为“关联”速度.解决此类问题的一般步骤如下:
第一步:
先确定合运动,物体的实际运动就是合运动.
第二步:
确定合运动的两个实际作用效果,一是沿牵引方向的平动效果,改变速度的大小;
二是沿垂直于牵引方向的转动效果,改变速度的方向.
第三步:
按平行四边形定则进行分解,作好运动矢量图.
第四步:
根据沿绳或杆牵引方向的速度相等列方程.
例如,小车通过跨过滑轮的绳牵引小船B,某一时刻绳与水平方向的夹角为θ,如图5所示.
图5
小船速度vB有两个效果(两个分运动):
一是沿绳方向的平动,二是垂直绳方向的转动.将vB沿着这两个方向分解,其中v1=vBcosθ=vA,v2=vBsinθ.
一、运动的合成与分解
例1 质量m=2kg的物体在光滑水平面上运动,其分速度vx和vy随时间变化的图线如图6(a)、(b)所示,求:
图6
(1)物体所受的合外力;
(2)物体的初速度;
(3)t=8s时物体的速度;
(4)t=4s内物体的位移.
解析
(1)物体在x方向:
ax=0;
y方向:
ay==0.5m/s2
根据牛顿第二定律:
F合=may=1N,方向沿y轴正方向.
(2)由题图可知vx0=3m/s,vy0=0,则物体的初速度为v0=3m/s,方向沿x轴正方向.
(3)由题图知,t=8s时,vx=3m/s,vy=4m/s,物体的合速度为v==5m/s,设速度方向与x轴正方向的夹角为θ,则tanθ=,θ=53°
,即速度方向与x轴正方向的夹角为53°
.
(4)t=4s内,x=vxt=12m,y=ayt2=4m.
物体的位移l=≈12.6m
设位移方向与x轴正方向的夹角为α,则
tanα==,所以α=arctan
即位移方向与x轴正方向的夹角为arctan.
答案
(1)1N,沿y轴正方向
(2)3m/s,沿x轴正方向
(3)5m/s,与x轴正方向的夹角为53°
(4)12.6m,与x轴正方向的夹角为arctan
例2 已知某船在静水中的速率为v1=4m/s,现让船渡过某条河,假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100m,河水的流动速度为v2=3m/s,方向与河岸平行.试分析:
(1)欲使船以最短时间渡过河去,船的航向怎样?
最短时间是多少?
到达对岸的位置怎样?
船发生的位移是多大?
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短,船的航向又应怎样?
渡河所用时间是多少?
解析
(1)根据运动的独立性和等时性,当船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大时,渡河所用时间最短.设船头指向上游且与上游河岸夹角为α,其合速度v与分运动速度v1、v2的矢量关系如图所示.河水流速v2平行于河岸,不影响渡河快慢,船在垂直河岸方向上的分速度v⊥=v1sinα,则船渡河所用时间为t=.
显然,当sinα=1即α=90°
时,v⊥最大,t最小,此时船身垂直于河岸,船头始终垂直指向对岸,但船实际的航向斜向下游,如图所示.
渡河的最短时间tmin==s=25s
船的位移为l=tmin=×
25m=125m
船渡过河时到达正对岸的下游A处,其顺水漂流的位移为
x=v2tmin=3×
25m=75m.
(2)由于v1>v2,故船的合速度与河岸垂直时,船的航行距离最短.设此时船速v1的方向(船头的指向)斜向上游,且与河岸成θ角,如图所示,则
cosθ==,θ=arccos.
船的实际速度为
v合==m/s=m/s
故渡河时间:
t′==s=s.
答案 见解析
三、关联物体的速度分解问题
图7
例3 如图7所示,做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,设重物和汽车的速度的大小分别为vB、vA,则( )
A.vA=vBB.vA<vB
C.vA>vBD.重物B的速度逐渐增大
解析 如图所示,汽车的实际运动是水平向左的运动,它的速度vA可以产生两个运动效果:
一是使绳子伸长;
二是使绳子与竖直方向的夹角增大,所以车的速度vA应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1,由运动的分解可得v0=vAcosα;
又由于vB=v0,所以vA>vB,故C正确.因为随着汽车向左行驶,α角逐渐减小,所以vB逐渐增大,故D正确.
答案 CD
1.(合运动与分运动的关系)对于两个分运动的合运动,下列说法正确的是( )
A.合运动的速度大小等于两个分运动的速度大小之和
B.合运动的速度一定大于某一个分运动的速度
C.合运动的方向就是物体实际运动的方向
D.由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
答案 C
解析 根据平行四边形定则,邻边表示两个分运动的速度,合运动的速度的大小和方向可由对角线表示,由几何关系知,两邻边和对角线的长短关系因两邻边的夹角不同而不同,当两邻边长短不变,而夹角改变时,对角线的长短也将发生改变,即合速度也将变化,故A、B、D错,C正确.
2.(合运动运动性质的判断)关于运动的合成,下列说法中正确的是( )
A.两个直线运动的合运动,一定是直线运动
B.两个直线运动的合运动,可能是曲线运动
C.两个互成角度的匀速直线运动的合运动,一定是匀速直线运动
D.两个互成角度的匀加速直线运动的合运动,一定是匀加速直线运动
答案 BC
解析 两个匀速直线运动的合成,就是其速度的合成,其合速度是确定的,等于两个分速度的矢量和,加速度为零,即合力为零,故合运动一定是匀速直线运动,C对;
两个分运动的合加速度方向与合速度的方向不一定在同一直线上,既有可能做曲线运动,也有可能做直线运动,不是“一定”,而是“可能”,故A、D错,B对.
图8
3.(关联物体速度的分解)如图8所示,中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上,通过滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动.则关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是( )
A.F不变、v不变
B.F增大、v不变
C.F增大、v增大
D.F增大、v减小
答案 D
解析 设绳子与竖直方向上的夹角为θ,因为A做匀速直线运动,在竖直方向上合力为零,有:
Fcosθ=mg,因为θ增大,则F增大.物体A沿绳子方向上的分速度v=v物cosθ,因为θ增大,则v减小.D正确.
4.(小船渡河问题)小船在200m宽的河中横渡,水流速度是2m/s,小船在静水中的航速是4m/s.求:
(1)要使小船渡河耗时最少,应如何航行?
最短时间为多少?
(2)要使小船航程最短,应如何航行?
最短航程为多少?
答案
(1)船头正对河岸航行耗时最少,最短时间为50s.
(2)船头偏向上游,与河岸成60°
角,最短航程为200m.
解析
(1)如图甲所示,船头始终正对河岸航行时耗时最少,即最短时间tmin==s=50s.
(2)如图乙所示,航程最短为河宽d,即应使v合的方向垂直于河岸,故船头应偏向上游,与河岸成α角,有
cosα===,解得α=60°
题组一 合运动与分运动的关系、合运动性质的判断
1.关于运动的合成与分解,以下说法正确的是( )
A.合运动的位移为分运动位移的矢量和
B.物体的两个分运动若是直线运动,则它的合运动一定是直线运动
C.合运动和分运动具有等时性
D.若合运动是曲线运动,则其分运动中至少有一个是曲线运动
答案 AC
解析 位移是矢量,其运算满足平行四边形定则,A正确;
两个直线运动的合运动也有可能是曲线运动,B、D项错;
合运动与分运动具有等时性,C项正确.
2.关于互成角度的匀速直线运动的合运动,下列说法正确的是( )
A.一定是直线运动
B.一定是曲线运动
C.可能是直线运动,也可能是曲线运动
D.以上都不对
答案 A
解析 两个运动都是匀速直线运动,所以加速度都为零,所以合运动的加速度也一定为零.两个互成角度的匀速直线运动合运动的速度不为零.所以合运动是匀速直线运动.
3.如图1甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方,现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时,一支铅笔从三角板直角边的最下端,由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动,下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中,正确的有( )
A.笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线
B.笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线
C.在运动过程中,笔尖运动的速度方向始终保持不变
D.在运动过程中,笔尖运动的加速度方向始终保持不变
解析 由题可知,铅笔尖既
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- 第一章 学案2 运动的合成与分解 运动 合成 分解
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