届福建省惠安县高三质量检查理科数学试题及答文档格式.docx
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届福建省惠安县高三质量检查理科数学试题及答文档格式.docx
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A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知集合,,若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值可以是()
A.B.C.1D.
3.设为等差数列的前项和,,则()
A.B.C.D.
4.已知平面和直线,给出条件:
①;
②;
③;
④;
⑤.为使,应选择下面四个选项中的()
A.③⑤B.①⑤C.①④D.②⑤
5.若直线是的图象的一条对称轴,则可以是()
A.1B.2C.4D.5
6.执行下面的框图,若输入的是,则输出的值是()
A.120B.720C.1440D.5040
7.若函数的图象能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分,则函数称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆的“可分函数”为()
A.B.C.D.
8.函数在区间上可找到个不同数,,……,,使得:
,则自然数的所有可能取值集合为()
9.如图,设圆弧与两坐标轴正半轴围成的扇
形区域为,过圆弧上一点做该圆的切线与两坐标轴正半轴围
成的三角形区域为.现随机在区域内投一点,若设点落在
区域内的概率为,则的最大值为()
A. B. C. D.
10.如图,点是曲线上的一点.过线段的中
点作轴的垂线交曲线于点,再过线段的中点
作轴的垂线交曲线于点,……,以此类推,过线段
的中点作轴的垂线交曲线于点(为原点,
).设点,直线关于直线的对
称直线为(),记直线、的斜率分别为
、.若对任意恒成立,则实数
取值范围是()
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.
11.在平面直角坐标系下,满足线性约束条件所对应的平面
区域面积是.
12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
13.已知二项式,
则.
14.直线与双曲线的渐近线交于两点,为双曲线上的一点,且(,为坐标原点),则的最小值为______.
15.先阅读下面的材料:
“求的值时,采用了如下方法:
令,则有,两边同时平方,得,解得(负值舍去).”————根据以上材料所蕴含的数学思想方法,可以求得函数的零点为________.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分13分)
第16题图
已知四棱锥的底面是等腰梯形,且与交于,分别是的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
17.(本小题满分13分)
已知函数(,,),的部分图像如图所示,、分别为该图像的最高点和最低点,点的坐标为.
(Ⅰ)求的最小正周期及的值;
(Ⅱ)若点的坐标为,,求的值和的面积.
18.(本小题满分13分)
如图,在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足.设为线段的中点.
(Ⅰ)当点在圆上运动时,求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若圆在点处的切线与轴交于点,
试判断直线与轨迹的位置关系.
19.(本小题满分13分)
持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一.为此,某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄(岁)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
赞成人数
4
6
9
3
(Ⅰ)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值;
(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅲ)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率取得最大值的整数.
20.(本小题满分14分)
设(是自然对数的底数,),且.
(Ⅰ)求实数的值,并求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,对任意,恒有成立.求实数的取值范围;
(Ⅲ)若正实数满足,,试证明:
并进一步判断:
当正实数满足,且是互不相等的实数时,不等式是否仍然成立.
21.本题有
(1)、
(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分)选修4-2:
矩阵与变换
在直角坐标平面内,将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.
(Ⅰ)求矩阵的逆矩阵;
(Ⅱ)求曲线先在变换作用下,然后在变换作用下得到的曲线方程.
(2)(本小题满分7分)选修4—4:
极坐标与参数方程
在直角坐标平面内,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)分别求出曲线和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点在曲线上,且到直线的距离为1,求满足这样条件的点的个数.
(3)(本小题满分7分)选修4—5:
不等式选讲
已知,且.
(Ⅰ)试利用基本不等式求的最小值;
(Ⅱ)若实数满足,求证:
.
2014年惠安县普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;
如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分.
1.A;
2.C;
3.B;
4.D;
5.B;
6.B;
7.D;
8.C;
9.D;
10.C
*10.解析:
随着的增大,、均递减,且当点无限趋近于点时,无限趋近于点处的切线的斜率,又易得直线关于切线的对称直线为,即无限趋近于0(或由抛物线的光学性质知无限趋近于0),所以无限趋近于.
二、填空题:
本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分.
11.1;
12.;
13.6;
14.4;
15..
*15.解析:
令,则.若,则,…,;
反过来,若满足,由于在上单调递增,由反证法可知,必有.综上可知,方程与同解,得(负值舍去).
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想.满分13分.
证明:
(1)分别是的中点.
是的中位线,………………………………………2分
由已知可知………………………………………3分
…………………………………4分
…………………………………………………5分
…………………………………………………………………………6分
(2)以所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
由题设,得,…………………………………………7分
…………………………………………………………8分
设平面的法向量为
可得,………………………………………………………10分
又平面的法向量为
设二面角的大小为,则.
为锐角,二面角的余弦值为.……………………………13分
17.本小题主要考查三角函数的图像和性质、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合、化归与转化思想等.满分13分.
解:
(Ⅰ).……………2分
所以.将代入得(),故.…6分
(Ⅱ)设点的坐标为,由题意可知,得,所以.
连接,则,………………………………8分
又因为,………………………………9分
在中,,由余弦定理得:
解得,又,所以.……………………………………………11分
………13分
18.本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分13分.
(Ⅰ)设,则.点在圆上,,
即点的轨迹的方程为.…………………………………………4分
(Ⅱ)解法一:
(i)当直线的斜率不存在时,直线的方程为或.显然与轨迹相切;
(ii)当直线的斜率存在时,设的方程为,
因为直线与圆相切,所以,即.………………7分
又直线的斜率等于,点的坐标为.
所以直线的方程为,即.…………………………9分
由得.
.故直线与轨迹相切.
综上(i)(ii)知,直线与轨迹相切.……………………………………………13分
解法二:
设(),则.……………………………………5分
(i)当时,直线的方程为或,此时,直线与轨迹相切;
(ii)当时,直线的方程为,即.
令,则.,又点,
所以直线的方程为,即.………………9分
由得即.
.所以,直线与轨迹相切.
综上(i)(ii)知,直线与轨迹相切.……………………………………………13分
19.本小题主要考查样本频率分布、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等.满分13分.
解:
(Ⅰ)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为:
.………………2分
被调查者年龄的平均约为:
…4分
(Ⅱ)依题意得:
……………………………………………………………5分
………………………………………7分
所以的分布列是:
所以的数学期望.……………………………………………………
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