广西北海市高中毕业班届高三第一次质量检测试理科数学试题 Word版含答案Word格式文档下载.docx
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9.设椭圆C:
的左、右焦点分别为,,上顶点为A,过点A与垂直的直线交轴负半轴于点Q,且,则椭圆C的离心率为()
10.现有四个函数①②③④的部分图像如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是()
A.①③②④B.①③④②C.③①②④D.③①④②
11.如图,在二面角内半径为1的圆与半径为2的圆分别在半平面、内,且与棱切于同一点P,则以圆与圆为截面的球的表面积为()
12.定义一种运算,若函数,是方程的解,且,则的值是()
A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡对应题号的横线上。
13.双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为.
14.若,则的展开式中的系数是.
15.若不等式对一切实数恒成立,则实数的取值范围是.
16.定义在R上的函数,对任意不等的实数,都有成立,又函数的图象关于点对称,若不等式成立,则当时,的取值范围为.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本题10分)设的内角A、B、C的对边长分别为、、,已知的周长为3,且.
(I)求边的长;
(II)若的面积为,求角C的余弦值.
18.(本题12分)某企业招聘中,依次进行A科、B科考试,当A科合格时,才可考B科,且两科均有一次补考机会,两科都合格方通过。
甲参加招聘,已知他每次考A科合格的概率均为,每次考B科合格的概率均为。
假设他不放弃每次考试机会,且每次考试互不影响。
(I)求甲恰好3次考试通过的概率;
(II)记甲参加考试的次数为,求的分布列和期望.
19.(本题12分)如图
(1)在等腰中,D,E,F分别是AB,AC和BC边的中点,,现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图
(2))
(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(II).求二面角E-DF-C的余弦值;
(III)在线段BC是否存在一点P,但APDE?
证明你的结论.
20.(本题12分))在数列中,,,,其中.
(I)求证:
数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(II)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由.
21.(本题12分)如图,ADB为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且ODAB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
(I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(II)过点B的直线与曲线C交于M、N.两点,与OD所在直线交于E点,,证明:
为定值.
22.(本题12分)已知函数.
(I)若在处取和极值,
①求、的值;
②存在,使得不等式成立,求的最小值;
(II)当时,若在上是单调函数,求的取值范围.(参考数据)
理科数学参考答案及评分标准
说明:
1.本参考答案提供一至两种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则;
2.解答题右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分;
3.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数。
(每小题只有一个选项符合要求,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
(每小题5分,共20分)
13.1314.15.16.
(共70分)
17.【解】
(I)由已知及正弦定理得,解得…………………………………4分
【解】
(II)的面积为即……………………6分
由(I)得
由余弦定理得…………………7分
即…………………………………………………………………9分
所以,…………………………………………………………………………10分
18.设甲“第一次考A科成绩合格”为事件,“A科补考后成绩合格”为事件,
“第一次考B科成绩合格”为事件,“B科补考后成绩合格”为事件。
…………1分
(Ⅰ)甲参加3次考试通过的概率为:
…6分
(Ⅱ)由题意知,可能取得的值为:
2,3,4
P
…………………………………………7分
…………8分
…………………9分
分布列(如右表)……………………………………………………………………10分
故…………………………………………………………12分
19.【解法一】
(I)如图:
在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF,∴AB∥平面DEF.………………4分
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角,
∴AD⊥BD,∴AD⊥平面BCD,取CD的点M,使EM∥AD,∴EM⊥平面BCD,
过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF,
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.………………………………6分
设CD=a,则AC=BC=2a,AD=DB=,△DFC中,设底边DF上的高为h由
,∴h=
在Rt△EMN中,EM=,MN=h=,∴tan∠MNE=2
从而cos∠MNE=……………………………………………………8分
(Ⅲ)在线段BC上不存在点P,使AP⊥DE,………………………9分
证明如下:
在图2中,作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得
∠AED=120°
,于是点G在DE的延长线上,从而Q在DC的延长线
上,过Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD∴PQ⊥DE
∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。
…………………12分
【法二】
(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,
设CD=a,则AC=BC=2a,AD=DB=则A(0,0,),B(,0,0),
C(0,.………………………5分
取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为,
则得,…………6分
,………………………………………7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为;
……………………………8分
(Ⅲ)设,
又,………………………………………9分
………………………11分
把,可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE.………………………………………………12分
20.【解】
(Ⅰ)证明:
∴ 数列是等差数列…………………………………………………………………3分
………………………………………………………………4分
由得
………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ),
……………………………………………………………9分
依题意要使对于恒成立,只需,
解得,所以m的最小值为1.………………………………………12分
21.【解】
(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系,
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4.…………………………………3分
∴曲线C是为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1……………4分
∴曲线C的方程为+y2=1……………………………………………………………5分
【证法1】
(Ⅱ):
设点的坐标分别为,
易知点的坐标为.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
∵,∴.
∴,…………………………………………………………7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得:
,
去分母整理,得…………………………………………9分
同理,由可得:
…………………………10分
∴,是方程的两个根………………………………11分
∴………………………………………………………………………12分
【证法2】
显然直线的斜率存在,设直线的斜率为,则直线的方程是…6分
将直线的方程代入到椭圆的方程中,消去并整理得
.
∴,……………………………………………8分
又∵,则.∴,
同理,由,∴………………………………………………10分
∴……………………12分
22.【解】
(Ⅰ)①,定义域为
∴………………………………………………………………1分
∵在处取得极值,∴
即,所求值均为……………………………3分
②在存在,使得不等式成立,则只需……4分
由
∴当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,
∴在处有极小值…………………………………………………………6分
而
又,
因
∴,
故。
………………………………………………………………7分
(Ⅱ)当a=b时,
1当时,则在上单调递增;
…………………8分
2当时,∵,则在上单调递增;
3当时,设,只需,从而得,此时在上单调递减;
……………………………………………………………………11分
综上可得,………………………………………………………12分
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