函数定义域值域求法全十一种Word格式文档下载.docx
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二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。
(1)已知
的定义域,求
(2)其解法是:
已知
的定义域是[a,b]求
的定义域是解
,即为所求的定义域。
例3已知
的定义域为[-2,2],求
令
,得
,即
,因此
,从而
,故函数的定义域是
(2)已知
的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:
的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:
由
,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例4已知
的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
因为
即函数f(x)的定义域是
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析:
函数的定义域为R,表明
,使一切x∈R都成立,由
项的系数是m,所以应分m=0或
进行讨论。
当m=0时,函数的定义域为R;
当
时,
是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是
综上可知
不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。
例6已知函数
的定义域是R,求实数k的取值范围。
要使函数有意义,则必须
≠0恒成立,因为
的定义域为R,即
无实数
①当k≠0时,
恒成立,解得
;
②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函数的定义域。
设矩形一边为x,则另一边长为
于是可得矩形面积。
由问题的实际意义,知函数的定义域应满足
故所求函数的解析式为
,定义域为(0,
)。
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并求定义域。
由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。
因为CD=AB=2x,所以
,所以
,
故
根据实际问题的意义知
故函数的解析式为
,定义域(0,
五、参数型
对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。
例9已知
的定义域为[0,1],求函数
的定义域为[0,1],即
故函数
的定义域为下列不等式组的解集:
即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知
(1)当
时,F(x)的定义域为
(2)当
(3)当
时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例10求函数
的单调区间。
,解得
即函数y的定义域为(-1,3)。
函数
是由函数
复合而成的。
,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间
上是增函数;
在区间
上是减函数,而
在其定义域上单调增;
,所以函数
上是增函数,在区间
上是减函数。
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1.求函数
的值域。
∵
∴
显然函数的值域是:
例2.求函数
故函数的值域是:
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数
将函数配方得:
由二次函数的性质可知:
当x=1时,
,当
[4,8]
3.判别式法
例4.求函数
原函数化为关于x的一元二次方程
解得:
(2)当y=1时,
,而
故函数的值域为
例5.求函数
两边平方整理得:
(1)
但此时的函数的定义域由
,仅保证关于x的方程:
在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程
(1)有实根,由
求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
代入方程
(1)
即当
原函数的值域为:
注:
由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6.求函数
值域。
由原函数式可得:
则其反函数为:
,其定义域为:
故所求函数的值域为:
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7.求函数
故所求函数的值域为
例8.求函数
,可化为:
即
6.函数单调性法
例9.求函数
则
在[2,10]上都是增函数
所以
在[2,10]上是增函数
当x=2时,
当x=10时,
例10.求函数
原函数可化为:
,显然
在
上为无上界的增函数
上也为无上界的增函数
所以当x=1时,
有最小值
,原函数有最大值
显然
,故原函数的值域为
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数
又
,由二次函数的性质可知
例12.求函数
因
故可令
例13.求函数
原函数可变形为:
可令
,则有
而此时
有意义。
例14.求函数
,则
可得:
∴当
例15.求函数
,可得
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例16.求函数
原函数可化简得:
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),
间的距离之和。
由上图可知,当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
例17.求函数
上式可看成x轴上的点
到两定点
的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,
例18.求函数
将函数变形为:
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点
到点
的距离之差。
即:
由图可知:
(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点
,则构成
,根据三角形两边之差小于第三边,有
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
综上所述,可知函数的值域为:
由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
如:
例17的A,B两点坐标分别为:
(3,2),
,在x轴的同侧;
例18的A,B两点坐标分别为(3,2),
,在x轴的同侧。
9.不等式法
利用基本不等式
,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19.求函数
原函数变形为:
当且仅当
时
,等号成立
故原函数的值域为:
例20.求函数
,即当
时,等号成立。
10.一一映射法
原理:
在定义域上x与y是一一对应的。
故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。
例21.求函数
∵定义域为
得
解得
11.多种方法综合运用
例22.求函数
,当且仅当t=1,即
时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
先换元,后用不等式法
例23.求函数
此时
都存在,故函数的值域为
此题先用换元法,后用配方法,然后再运用
的有界性。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
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