轨迹方程交轨法Word格式.docx
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y=k1x+1,l2:
y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(Ⅰ)证明l1与l2相交;
(Ⅱ)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数a>
0,向量p=(1,0),q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为λp+q的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p+2λq的直线相交于点R,其中λ∈R.
(Ⅰ)求点R的轨迹方程;
(Ⅱ)设a=
过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求
的取值范围.
二.平几形式
例2:
(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中,y
O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,CB
10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,Bi
…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBiB1
交于点Pi(i∈N+,1≤i≤9).OA1AiAx
(Ⅰ)求证:
点Pi(i∈N+,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
(Ⅱ)过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若△OCM与△OCN的面积比为4:
1,求直线l的方程.
(Ⅰ)因Bi(10,i)
直线OBi:
y=
x;
直线AiPi:
x=i
Pi(i,
)
点Pi(i∈N+,1≤i≤9)在抛物线E:
x2=10y上;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:
y=kx+10;
由
x2-10kx-100=0
x1+x2=10k,x1x2=-100;
因△OCM与△OCN的面积比为4:
1
|x1|=4|x2|(x1x2<
0)
x1=-4x2
-3x2=10k,-4x22=-100
k=
直线l的方程:
x+10.
1.(1983年全国高考副题)如图,在直角坐标系中,己知矩形OABC的边y
长OA=a,CO=b,点D在AO的延长线上,OD=a,设M、N分别是OC、BCCNB
边上的动点,使OM:
MC=BN:
NC≠0,求直线DM与AN的交点P的轨迹方MP
程,并画出图形.DOAx
22第六讲:
轨迹方程.交轨法
2.(2003年大纲卷高考试题)己知常数a>
0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,y
O为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且
DFC
P为CE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的GPE
和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;
若不存在,请说明理由.AOBx
三.解析条件
例3:
(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A1、A2是椭圆
+
=1(a>
b>
0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.
设点P1的坐标为(m,n),则有P2(m,-n),A1P1所在直线的方程为y=
(x+a),A2P2所在直线的方程为y=
(x-a),两式相乘,并利用
=1消去m、n有
-
=1.
1.(1990年上海高考试题)己知点P在直线x=2上移动,直线l过原点且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.
2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:
L:
y=x,设长为
的线段AB在直线L上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程).
四.曲线条件
例4:
(2012年辽宁高考试题)如图,
动圆C1:
x2+y2=t2,1<
t<
3,与椭圆C2:
+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,
A2分别为C2的左,右顶点.
(Ⅰ)当t为何值时,矩形ABCD的面积取
得最大值并求出其最大面积;
(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.
(Ⅰ)设D(x0,y0)(x0>
0,y0>
0),则
+y02=1,矩形ABCD的面积S=4x0y0
S2=16x02y02=16x02(1-
)=-
(x02-
)2+36,
当x02=
时,S取得最大值6,此时,y02=
t2=x02+y02=
=5
t=
;
(Ⅱ)由A1(-3,0),A2(3,0),设A(a,b),则B(a,-b),且
+b2=1;
直线AA1:
(x+3),A2B:
y=-
(x-3),两式相乘得:
y2=
(x2-9)
-y2=1;
由-3<
a<
0,0<
b<
x<
-3,y<
M的轨迹方程:
-y2=1(x<
0).
1.(2010年广东高考试题)已知双曲线
-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.
(Ⅰ)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;
(Ⅱ)若过点H(O,h)(h>
1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,l1求h的值.
2.(2012年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
轨迹方程.交轨法23
已知(1,e)和(e,
)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线
BF2平行,AF2与BF1交于点P.
(i)若AF1-BF2=
求直线AF1的斜率;
(ii)求证:
PF1+PF2是定值.
五.动弦上点
例5:
(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图,y
过原点O作抛物线y2=2px(p>
0)的两条互相垂直的弦A
OA、OB,再作∠AOB的平分线交AB于C.OCx
求点C的轨迹方程.B
设A(2pa2,2pa)(a>
0),B(2pb2,2pb)(ab≠0),由OA⊥OB
ab=-1
=
=|a|3,由OC平分∠AOB
=|a|3
设C(x,y),则x-2pa2=a3(2pb2-x),y-2pa=a3(2pb-y)
x=
y=
a=
y[1+
(
)3]=2p
+1)
y(x2+3y2)=2p(x2-y2).
1.(2008年北京、安徽春招试题)设点A和B为抛物线y2=4px(p>
0)上原点以外的两个动点,己知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
2.(2007年天津高考试题)设椭圆C:
0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为
|OF1|.
(Ⅰ)证明:
b;
(Ⅱ)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.
六.动弦交点
例6:
(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0),yP
D在双曲线x2-y2=1的左支上,D≠A,直线CD交双曲线x2-y2=1的右支于点E,求证:
直线AD与BE的交点P在直线x=
上.ABCx
设D(x1,y1)(x1<
0),E(x2,y2)(x2>
0),直线DE:
y=k(x-2);
D
(1-k2)x2+4k2x-4k2-1=0(k≠
1)
x1+x2=
x1x2=
x1+x2=4+
(x1+x2)-1,
x1x2=
=(x1+x2)+
(x1+x2)-1=
(x1+x2)-1;
直线AD:
(x+1)=
(x+1),直线BE:
(x-1)=
(x-1)
直线AD与BE交点P的横坐标x满足:
)x=-(
24第六讲:
x=-
=-
.
1.(2011年四川高考试题)(文)过点C(0,1)的椭圆
(a>
0)的离心率为
椭圆与x轴交于两点A(a,0),
B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点y
D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于C
点Q.
(Ⅰ)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
BOPAx
(Ⅱ)当点P异于点B时,求证:
为定值.DQ
2.(2011年四川高考试题)(理)椭圆有两顶y
点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线lD
与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P.直线C
AC与直线BD交于点Q.AOBPx
(Ⅰ)当|CD|=
时,求直线l的方程;
(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:
为定值.
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