24幂函数与二次函数学年新高考数学一轮复习讲义Word文件下载.docx
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非奇非偶函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上单调递减;
在(0,+∞)上单调递增
在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>
0)
f(x)=ax2+bx+c(a<
在x∈上单调递减;
在x∈上单调递增
在x∈上单调递增;
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x=-对称
概念方法微思考
1.二次函数的解析式有哪些常用形式?
提示
(1)一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
y=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),写出f(x)≥0恒成立的条件.
提示 a>
0且Δ≤0.
3.函数y=2x2是幂函数吗?
提示 不是.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,n]的最值一定是.( ×
)
(2)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(4)二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2.( √ )
题组二 教材改编
2.已知幂函数f(x)=k·
xα的图象过点,则k+α等于( )
A.B.1C.D.2
答案 C
解析 由幂函数的定义,知
∴k=1,α=.∴k+α=.
3.已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.[3,+∞)B.(-∞,3]
C.(-∞,-3)D.(-∞,-3]
答案 D
解析 函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
4.函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,3]上的最大值为________.最小值为________.
答案 6 2
解析 f(x)=(x-1)2+2,0≤x≤3,
∴x=1时,f(x)min=2,x=3时,f(x)max=6.
题组三 易错自纠
5.幂函数f(x)=(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于( )
A.3B.4C.5D.6
解析 因为a2-10a+23=(a-5)2-2,
f(x)=(a∈Z)为偶函数,
且在区间(0,+∞)上是减函数,
所以(a-5)2-2<
0,从而a=4,5,6,
又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>
0),若f(m)<
0,则f(m-1)________0.(填“>
”“<
”或“=”)
答案 >
解析 f(x)=x2-x+a图象的对称轴为直线x=,且f
(1)>
0,f(0)>
0,而f(m)<
0,∴m∈(0,1),∴m-1<
0,∴f(m-1)>
0.
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,确定下列各式的正负:
b________0,ac________0,a-b+c________0.
<
解析 ∵a<
0,->
0,c>
0,∴b>
0,ac<
设y=f(x)=ax2+bx+c,
则a-b+c=f(-1)<
幂函数的图象和性质
1.(2019·
武汉模拟)若幂函数的图象经过点,则它的单调递增区间是( )
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)
解析 设f(x)=xα,则2α=,α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0).故选D.
2.幂函数(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为( )
A.3B.0
C.1D.2
解析 ∵函数在(0,+∞)上单调递减,
∴m2-2m-3<
0,解得-1<
m<
3.
∵m∈Z,∴m=0,1,2.而当m=0或2时,f(x)=x-3为奇函数,当m=1时,f(x)=x-4为偶函数.∴m=1.
3.已知幂函数f
(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( )
A.-3B.1C.2D.1或2
答案 B
解析 由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意,故选B.
4.若,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,-1)∪
解析 不等式等价于a+1>
3-2a>
0或3-2a<
a+1<
0或a+1<
0<
3-2a,解得a<
-1或<
a<
.
思维升华
(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.
(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
求二次函数的解析式
例1
(1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________.
答案 f(x)=x2-2x+3
解析 由f(0)=3,得c=3,
又f(1+x)=f(1-x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴=1,∴b=2,∴f(x)=x2-2x+3.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.
答案 x2+2x+1
解析 设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,由已知f(x)=ax2+bx+1,
所以a=1,b=2a=2,故f(x)=x2+2x+1.
思维升华求二次函数解析式的方法
跟踪训练1
(1)(2020·
青岛模拟)已知二次函数f
(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=______.
答案 x2+2x
解析 设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),
所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,
得a=1,所以f(x)=x2+2x.
(2)二次函数f(x)满足f
(2)=f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=________.
答案 -4x2+4x+7
解析 方法一 (利用一般式)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (利用顶点式)
因为f
(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x==.
又根据题意函数有最大值8,
所以f(x)=a2+8.
因为f
(2)=-1,所以a2+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-42+8=-4x2+4x+7.
二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
例2
(1)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 若a>
0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;
若a<
0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;
对于选项B,看直线可知a>
0,b>
0,从而-<
0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,选C.
(2)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,已知图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:
①b2>
4ac;
②2a-b=1;
③a-b+c=0;
④5a<
b.
其中正确的是________.(填序号)
答案 ①④
解析 图象与x轴交于两点,∴b2>
4ac,①正确;
对称轴为直线x=-1,∴-=-1,即2a-b=0,②错误;
f(-1)>
0,∴a-b+c>
0,③错误;
开口向下,a<
0,b=2a,∴5a<
2a=b,④正确,故正确的结论是①④.
命题点2 二次函数的单调性
例3
(1)函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0)B.(-∞,-3]
C.[-2,0]D.[-3,0]
解析 当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.
当a≠0时,f(x)的对称轴为x=,
由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知
解得-3≤a<
综上,a的取值范围为[-3,0].
若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调减区间是[-1,+∞),则a=________.
答案 -3
解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<
0,
又=-1,∴a=-3.
(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的最小值为f
(1),则f(),f
,f()的大小关系是( )
A.f()<
f
<
f()
B.f
f()<
C.f()<
D.f()<
解析 由已知可得二次函数f(x)图象开口向上,对称轴为x=1,
∵>
|-1|>
|-1|,
∴f()<
命题点3 二次函数的值域、最值
例4(2019·
福州模拟)已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.
解 f(x)=a(x+1)2+1-a.
(1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;
(2)当a>
0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f
(2)=8a+1=4,解得a=;
(3)当a<
0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.
综上可知,a的值为或-3.
思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意:
(1)抛物线的开口方向,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论.
(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型,解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据图象的对称轴与区间的位置关
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