轴对称垂直平分线 角平分线文档格式.docx
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若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;
若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.
【例题精讲】
例1、 如图1,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于( )
A.6cm B.8cmC.10cm D.12cm
【同步练习】
已知:
1)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果△EBC的周长是24cm,那么BC=
2)如图,AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC=8cm,
那△EBC的周长是
3)如图,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果∠A=28度,
那么∠EBC=
例2.已知:
AB=AC,DB=DC,E是AD上一点,求证:
BE=CE。
例3.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°
,△ABC的底角∠B的大小为_______________。
【同步练习】1.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°
,则底角B的大小为________________。
例4、如图8,已知AD是△ABC的BC边上的高,且∠C=2∠B,求证:
BD=AC+CD.
【变式练习】
1.如图,AC=AD,BC=BD,则()
A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CD
C.CD平分∠ACBD.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,
那么,这个三角形是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
3.下列命题中正确的命题有()
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;
③经过线段中点的直线只有一条;
④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,如果AC=5cm,BC=4cm,那么△DBC的周长是()
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
5、如图7,在△ABC中,AC=23,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACE的周长为50,求BC边的长.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°
,AB的垂直平分线
MN分别交BC、AB于点M、N.求证:
CM=2BM.
角平分线的性质
1、角平分线的性质定理:
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
如图4,已知OE是∠AOB的平分线,F是OE上一点,若CF⊥OA于点C,DF⊥OB于点D,则CF=DF.
①证明两条线段相等;
②用于几何作图问题;
角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.
2、角平分线性质定理的逆定理:
角平分线性质定理的逆定理:
在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
如图5,已知点P在∠AOB的内部,且PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,若PC=PD,则点P在∠AOB的平分线上.
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
例1、已知:
如图,点B、C在∠A的两边上,且AB=AC,P为∠A内一点,PB=PC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别是E、F。
求证:
PE=PF
例2、如图10,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,E为BC中点,连接AE、DE,DE平分∠ADC,求证:
AE平分∠BAD.
例3、如图11-1,已知在四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,且∠BAD与∠BCD互补,
求证:
AD=CD.
1.如图,已知BQ是∠ABC的内角平分线,CQ是∠ACB的外角平分线,由Q出发,作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、K,则QM、QN、QK的关系是.
2.如图,在△ABC中,∠B=300,∠C=900,AD平分∠CAB,交CB于D,DE⊥AB于E,则∠BDE==.
3.如图,已知AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别为E、F、G,且PF=PG=PE,则∠BPD=.
4.如图,已知AB∥CD,0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点.OE⊥AC,且OE=2,则两平行线AB、CD间的距离等于.
5.已知Rt△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:
CD=9:
7,则D到AB边的距离为().
(A)18(B)16(c)14(D)12
6.如图,MP⊥NP,MQ为∠NMP的角平分线,MT=MP,连结TQ,则下列结论不正确的是().
(A)TQ=PQ(B)∠MQT=∠MQP(c)∠QTN=900(D)∠NQT=∠MQT
7.如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.说明它的道理.
等腰三角形的性质
一.等腰三角形的性质与判定:
1.等腰三角形的两底角__________;
2.等腰三角形底边上的______,底边上的________,顶角的_______,三线合一;
3.有两个角相等的三角形是_________.
二.等边三角形的性质与判定:
1.等边三角形每个角都等于_______,同样具有“三线合一”的性质;
2.三个角相等的三角形是________,三边相等的三角形是_______,一个角等于60°
的_______
三角形是等边三角形.
三.等腰直角三角形的性质与判定:
1.等腰直角三角形两锐角________.
2.直角三角形中45°
,那么这个直角三角形是________.
3、想一想:
等腰三角形有一个重要的性质:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之,如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合,那么这个三角形就是等腰三角形。
1)角度
1、在△ABC中,AB=AC,D在BC上,
1).如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠______,BD=_______。
2).如果∠BAD=∠CAD,BC=6cm,那么∠BDA=_____°
,BD=______cm。
3).如果BD=CD,那么∠BAD=∠_______,AD⊥______。
2、有一个底角为的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.
3、顶角为的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______.
4、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.
5、有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.
6、一个等腰三角形的两个内角度数之比为4∶1,则这个三角形各角度数分别为:
。
2)边长与周长
1、如果中,,它的两边长为和,那么它的周长为________.
2、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为,那么它的三边长为______.
3、在等腰三角形中,AB的长是BC的2倍,周长为40,
则AB的长为( )
A、20 B、16 C、16或20 D、以上都不对
4、已知的周长为,且,又,D为垂足,的周长为,那么AD的长为()
(A)(B)(C)(D)
3)证明题
例1、如图所示,在等腰△ABC中,AD是BC边上的中线,点E在AD上。
如图,在△ABC中,AB=AC,D是形外一点,且BD=CD。
AD垂直平分BC。
例2、如图△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,若CD=4,且△BDC周长为24,求AE的长度。
【课后练习】
1.选择题:
(1)等腰三角形的底角与相邻外角的关系是()
A.底角大于相邻外角B.底角小于相邻外角
C.底角大于或等于相邻外角D.底角小于或等于相邻外角
(2)等腰三角形的一个内角等于100°
,则另两个内角的度数分别为()
A.40°
,40°
B.100°
,20°
C.50°
,50°
D.40°
或100°
(3)等腰三角形中的一个外角等于100°
,则这个三角形的三个内角分别为()
A.50°
,80°
B.80°
C.100°
,100°
D.50°
或80°
(4)如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°
,那么顶角为()
A.45°
B.40°
C.55°
D.50°
(5)已知:
如图1所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为()
A.30°
B.45°
C.36°
D.72°
(1)
(2)(3)
2.填空题:
(1)如图2所示,在△ABC中,①因为AB=AC,所以∠________=∠______;
②因为AB=AC,∠1=∠2,所以BD=_____,_____⊥______.
(2)若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°
,则顶角的度数为______.
(3)已知等腰三角形的一个角是80°
,则顶角为______.
(4)在等腰三角形ABC中,一腰上的高是1cm,这条高与底边的夹角是450,则△ABC的面积为________.
3、如图,已知:
在中,,,,
求的度数
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