高二下学期期中考试数学理科模拟试题Word下载.docx
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A.B.C.D.
7.函数的图象如图所示,则的图象最有可能是
8.电视台某节目的现场观众来自四个单位,分别在图中四个区域内坐定,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装,且相邻两个区域的颜色不同,不相邻区域颜色不受限制,那么不同着装的方法有几种。
A.80B.84C.108D.72
9.用数学归纳法证明,从“k到k+1”,左端需要乘的代数式为()
A.2k+1B.2(2k+1)C.D.
10.若在上是减函数,则b的取值范围是()
11.对于函数,下列说法正确的是:
A既有极大值,又有极小值B只有极小值,没有极大值
C只有极大值,没有极小值D没有极值
12.定义:
若存在常数,使得对于定义域D内的任意两个不同的实数,均有成立,则称函数在定义域D上满足利普希茨条件,对于函数满足利普希茨条件,则常数的最小值应是
ABC1D2
二、填空题:
(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.曲线与直线及直线所围成的曲边三角形的面积为
14.函数图像上的点到直线距离的最小值是
15.若复数为纯虚数,其中,则=
16.13.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图
(2),如此下去,得图(3)……,
试用n表示第n个图形的边数=______________.
三、解答题:
17.证明下列问题
(1)求证:
(2)设a,b,c,为均大于1的数,且;
求证:
18.已知函数
(I)若是的极值点,求在上的最大值;
(Ⅱ)若函数是上的单调递增函数,求实数的取值范围。
19.已知函数、,曲线经过点,且在点处的切线垂直于轴,设。
(I)用分别表示和;
(Ⅱ)当取得最小值时,求函数的单调递增区间。
20.已知数列的前项和为。
(I)求的值;
(Ⅱ)猜想的表达式;
并用数学归纳法加以证明。
21.已知三次函数在处取得极大值,且是奇函数.
(1)若函数的图像在x=0处的切线与直线:
垂直,求的解析式;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
22.设函数给定数列,其中.
(1)若为常数列,求a的值;
(2)判断与2的大小,并证明你的结论;
(3)当时,求证:
<2+
参考答案及评分标准
DBBCBDCBBCCA
17.
(1)证明:
要证,
需要证1分
需证:
3分
需证5分
因为22<
30所以,
故.6分
(2)证明:
要证
需证7分
由于c>
1,只需要证8分
即证需证
需证9分
由于ab=10,则lgab=1即lga+lgb=1
而a,b均为大于1
的数,即lga>
且lgb>
0,则lga+lgb≥
11分
故12分
18.解:
(I)。
,即
,解得或(舍去)
当变化时,、的变化情况如下表:
1
3
(3,5)
5
15
因此,当时,在区间[1,5]上有最大值是
(Ⅱ)是上的单调递增函数转化为在上恒成立。
从而有的,解得。
19.解:
(I)经过点
;
由切线垂直于轴可知,从而有,
(Ⅱ)因为而,
当且仅当,即时取得等号。
因为
时为单调递增函数,即为单调递增区间
20.解:
(I)
(Ⅱ)猜想
数学归纳法证明:
(1)当时,猜想成立;
(2)假设时猜想成立,即有:
,
则时,因为,
即:
;
由假设可知;
从而有时,猜想成立;
由
(1)
(2)可知,成立
21.(满分14分).解:
(1)f(x)-2是奇函数,f(-x)-2=-,
f(x)=ax3+bx2+cx+d,∴-ax3+bx2-cx+d-2=-ax3-bx2-cx-d+2,∴bx2+d-2=0,
xR,∴b=0,d=2,(2分)
∴f(x)=ax3+cx+2,∴f’(x)=3ax2+c
f(x)在x=-1处取得极大值,
∴f’(-1)=0,∴3a+c=0,∴c=-3a3分
又直线l:
x-3y+1=0的斜率为,f(x)的图像在原点处的切线与直线l垂直。
∴f’(0)=-3,c=-3∴a=1,5分
∴f’(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
当x<-1时,f(x)=x3-3x+2。
f’(x)>0,当-1<x<1时,f’(x)<0,
∴f(x)在x=-1处取得极大值,符合题意。
7分
(2)由
(1)知f(x)=ax3-3ax+2,f’(x)=3ax2-3a=3a(x-1)(x+1),8分
令f’(x)=0,得x=1或x=-1。
f(x)在x=-1处取得极大值,9分
∴当x<-1时,f’(x)>0.当-1<a<1时,f’(x)<0∴a>0.当x时,不等式f(x)0恒成立等价于f(x)min0,11分
f(x)在上是减函数,∴f(x)的最小值为f
(1),12分
∴f
(1)0,∴2-2a0,∴a1。
13分
综上所述,a的取值范围是0<a1。
14分
22.(满分14分).解析:
(1)若为常数列,则an=a由an+1=f(an),
得:
a=f(a)(1分)
,,
a>1,a=2(a-1),解得:
a=2(4分)
(2)当a=2时,有
(1)知an=2;
(5分)
当a2时,a1=a,an+1==,∴a2==,
∴-2=-2==>0,∴a2>2,(6分)
a3-2=-2=>0,a3>2,猜想当n2时,an>2。
(7分)
下面用数学归纳法证明:
1°
当n=2时,a2>2,故猜想成立;
2°
假设当n=k(k2)时,猜想成立,即ak>2,即当n=k+1时,(8分)
ak+1=f(ak)=,∴ak+1-2>=(9分)
由1°
可知,对于一切不小于2的正整数n都有an>2.
综上所述,当a=2时,an=2;
当1<a<2时,a1<2,an>2(n)
当a>2时,an>2.(10分)
(3)由an+1==×
=(an+1+)
当a>2时,an>2,<1,
∴(an+1+)<(an+1+1)=an+1,∴an+1<an+1(11分)
∴0<an+1-2<(an-2),∴0<<,(12分)
∴an-2=×
…×
×
(a1-2)<(a1-2)()n-1=(a-2)()n-1
∴an<2+(a-2)()n-1,(13分)
2<a<3,an<2+()n-1,(14分)
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